平方可积函数

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1、平方可积函数的认识1、平方可积函数的来源与定义平方可积函数是连续物理过程，而连续是由离散情况变化而来，因此这里将首先引入离散情况。现在考虑一个问题：要测量某个物理量在不同条件下的值，设有个温度值，第一次测量结果是：第二次测量结果是：评估两次测量的偏差，最直接的设想是计算每个温度下测量偏差之和：其实就是平均值，但是这并不能反映真实情况，因为各项有正有负可能抵消，在极端的情况下，平均值可以为0，而实际上两次测量可以存在很大误差。于是，采用：这虽然避免了正负相消，但是绝对值是很不方便运算的，因此考虑更常见的但是的量纲很明显的不

2、对，于是对上式进行开方得到：的量纲显然与测量值、一致，因此它是合理的。称为方差，称为标准差。上述考虑的是离散情况下，如果观测的物理量对温度的变化是连续进行的，则相应的会有两个函数和。类似于上式，存在函数平方的积分。总之，经过发现可以得出把一个函数平方再积分，用这个量来刻画函数性质在种种物理过程中是十分有效的。由于已知黎曼积分本质上是适用于连续函数的积分，但是由于统计思想的深入，不得不考虑连续函数或不光滑函数。因此，这里的积分考虑的是勒贝格积分理论。定义1设是上的可测函数，而且在上可积，这种函数的集合称为平方可积函数空间，

3、记作（或简单记作）。42、平方可积函数的长度与角度定义空间的基本思想就是希望它尽可能的与欧式空间在几何上接近。已知欧式空间的几何学有两个基本的量，一个是长度，一个是角度。然而离散情况下的长度是，现在就引出两个函数和下的长度。定义2设、，定义的模（或称范数，就是长度）为定义实空间中和内积为复空间中和内积为上述给出的都是空间中函数长度的计算方法，下面将角度引入到空间中。根据空间中两个向量，余弦定律是，则一定有。即存在一个角使定律成立，所以把角度引入中，就应该亦存在与余弦定理相应的不等式。定理3（Schwarz不等式）若、为实

4、值或者是复值函数，则下式成立：而且等号当且仅当与几乎处处相差一个常数因子时成立。3、空间中规范正交系定义3若两个函数之内积为0，则说它们相互正交，若一个函数范数为1，就称为归一的，规范的（归一函数自然不会几乎处处为0），若一个函数序列适用，则称4为一个归一或规范正交系（简记）。若而为中，则有贝塞尔不等式成立：定义4若是中，若再没有一个非（即不处处为0）的函数与一切正交，就说是完全的。定理5为完全的必要充分条件是对任意的有等号成立：被称为封闭式方程或帕塞瓦尔等式。定理6设是中一个柯西序列，即对任一，均有存在，使当时，则必存

5、在唯一的，使而且。在中可以找到完全的后，任意的就可以展开为一下形状的级数称它为之关于的傅里叶级数，已知此级数在意义下收敛于，拍斯维尔等式指出由于函数与一个序列对应：可以很容易得到，双方是一对一的，而且保持线性空间结构，4，因此有内积和范数，如若还有另一个对应于，则，，可以证明因此，在集合中也可以引入内积和范数这里，。在这个集合中引入线性结构有上述定义的内积与范数后，可以得到一个空间，记作。和是线性同构的，这个同构是由中的一个完全的来实现的，选择不同的得到不同的同构，但总是同构的，这个同构还是等距的。与同构，而是一个含有无

6、穷多个线性无关向量的基底，例如，所以是无穷维向量。所以与其同构的也是无穷维的，而上述的基底就对应于的一个完全。综上，空间是具有无穷维的欧式空间的结构，且性质简单而丰富，仅次于空间。4