微分方程的解2

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1、微分方程的解微分方程的解析解(一)求微分方程(组)的解析解命令：dsolveC方程1「方程2；.「方程丫,，初始条件丁自变量，)。记号：在表达微分方程时，用字母D表示求微分，D2、D3等。表示求高阶微分.任何D后所跟的字母为因变量，自变量可以指定或山系统规则选定为确省.2例如，微分方程—=()应表达为：D2y=0.dx(二)simplify(s)：对表达式s使用maple的化简规则进行化简.例如：symsxsimplify(sin(x)A2+cos(x)A2)ans=l例1求的通解.dt解输入命令：dsolveC

2、Dzl+uT’f)结果：u=tg(t-c)例2求微分方程的特解.与+4空+29"0dx2dx'y(0)=0,y(0)=15■解输入命令:y=dsolve(,D2y+4*Dy+29*y=07y(0)=0,Dy(0)=15,；x,)结果为:y=3e-2xsin(5x)例3求微分方程组的通解.=2x-3y+3z=4x-5y+3z=4x-4y+2z解输入命令：[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z,,'Dy=4*x-5*y+3*z,,'Dz=4*x-4*y+2*z','t')；x=simple(x)

3、%将x化简y=simple(y)z=simplc(z)结果为：x=(cl-c2+c3+c2e-3t-c3e-3t)e2ty=-c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2tz=(-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t微分方程的数值解(一)常微分方程数值解的定义在住产和科研屮所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。而在实际上对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。因此，研究常微分方程的数值解

4、法是十分必要的。对常微分方程：［y：Kx，y)，其数值解是指由初始点X。开始〔y(x°)=儿的若干离散的兀值处，即对X。<兀】<兀2<•••<£，求出准确值y(xj,y(x2),•••,y(xn)的相应近似值y】，儿，…,儿。(二)建立数值解法的一些途径设XI+1-X.=/7,心0丄2,・・“-1,可用以下离散化方法求解微分方程：fy-f(x,y)ly(x0)=y01、用差商代替导数若步长h较小，则有h故有公式：S/、1=0,1,2,--sn-l1儿=心)此即欧拉法。2、使用数值积分对方程y'=f(x,y),两边

5、由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有：丿(九+1)-y(xi)=『W，y(t))dtu兀+；无［/(兀』(兀))+f(xi+i,yU,-+i))］实际应用时，与欧拉公式结合使用：故有公式：h爪严x+2〔/a，%）+/（也，爪J］>0=Wo）hy芽)=x+才/U，x)+/(巧，必))]R=o,i,2,…对于已给的精确度&当满足卜附-用?

6、宀时,取y：+广必严，然后继续下一步yi+2的计算。此即改进的欧拉法。3、使用泰勒公式以此方法为基础，冇龙格•库塔法、线性多步法等方法。4、数值公式的精度当一个数值公式的截断误

7、差可表示为O（hk+1）时（k为正整数，h为步长），称它是一个k阶公式。k越大，则数值公式的精度越鬲。•欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式。•龙格■库塔法有二阶公式和四阶公式。•线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。(一)用Matlab软件求常微分方程的数值解[T,Y]=sovei:(odefun,tspan,yO)求微分方程的数值解.说明：(1)其中的solver为命令ode45>ode23>odell3>odel5s>ode23s、ode23t>ode23tb之一・（2）odefun是显式常微分

8、方程:炉心）⑶在积分区间/卯斤=”0』/］上，从①到『/,用初始条件儿求解.⑷要获得问题在其他指定时间点/。比厶…上的解，则令tspan=%,皿2,…心］（要求是单调的）.注意：1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成.2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.”2丫Jy侗Ia——1000(1—x2)x=0例41drdt尢(0)=2;f(0)=0解：令yl二x,y2=y1*则微分方程变为一阶微分方程组：.Vi-y2“)<

9、=1000(1-)f)儿-必兀(0)=2』2(0)=01、建立m■文件vdplOOO.m如下：functiondy=vdplOOO(t,y)dy=zeros(2,l);dy(l)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(l)A2)*y(2)-y(l);2、取t0=0,tf=3000,输入命令：[T,Y]=odel5s('vdpl000',[03000],[20]);3、