微分方程数值解--上机2.doc

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1、微分方程练习练习1求解范德堡（vanderpol）方程练习2单摆运动图4.3中一根长的细线，一端固定，另一端悬挂质量为的小球，在重力作用下，小球处于竖直的平衡位置.现使小球偏离平衡位置一个小的角度，然后使其自由运动，在不考虑空气阻力情形下，小球将沿弧线作周期一定的简谐运动.为平衡位置，在小球摆动过程中，当与平衡位置夹角为时，小球所受重力在其动运轨迹的分量为（负号表示力的方向使减少），由牛顿第二定律可得微分方程（4.12）设小球初始偏离角度为，且初速为0，式（4.12）的初始条件为（4.13）当不大时，，式（4.12）化为线性常系数微分方程图4.3（4.14）解得（

2、4.15）简谐运动的周期为.现在的问题是：当较大时，仍用近似，误差太大，式（4.12）又无解析解，试用数值方法在两种情况下求解，画出的图形，与近似解（4.15）比较，这里设.练习3捕食与被捕食当鲨鱼捕食小鱼，简记为乙捕食甲，在时刻，小鱼的数量为，鲨鱼的数量为，当甲独立生存时它的（相对）增长率与种群数量成正比，即有，为增长率，而乙的存在使甲的增长率减少，设减少率与乙的数量成正比，而得微分方程（4.16）比例系数反映捕食者掠取食饵的能力.乙离开甲无法生存，设乙独自存在时死亡率为，，甲为乙提供食物，使乙的死亡率降低，而促其数量增长，这一作用与甲的数量成正比，于是满足（4

3、.17）比例系数反映甲对乙的供养能力，设若甲，乙的初始数量分别为（4.18）则微分方程（4.16），（4.17）及初始条件（4.18）确定了甲，乙数量、随时间变化而演变的过程，但该方程无解析解，试用数值解讨论以下问题：（1）设，求方程（4.16），（4.17）在条件（4.18）下的数值解，画出的图形及相图，观察解的周期变化，近似确定解的周期和的最大、小值，近似计算在一个周期内的平均值.（2）从式（4.16）和（4.17）消去得到（4.19）解方程（4.19），得到的解即为相轨线，说明这是封闭曲线，即解确为周期函数.（3）将方程（4.17）改写为（4.20）在一个周

4、期内积分，得到一周期内的平均值，类似可得一周期内的平均值，将近似计算的结果与理论值比较.进一步练习（1）编写改进欧拉公式求微分方程数值解的程序，并用其与ode23求下列微分方程数值解，对二者作出比较.a）或.b)（Bessel方程，这里令，其精确解为）.c).（2）倒圆锥形容器，上底面直径为1.2m，容器的高亦为1.2m，在锥尖的地方开有一直径为3cm的小孔，容器装满水后，下方小孔开启，由水利学知识可知当水面高度为时，水从小孔中流出的速度为为重力加速度，若孔口收缩系数为0.6（即若一个面积单位的小孔向外出水时，水柱截面积为0.6），问水从小孔中流完需多少时间？2分

5、钟时，水面高度是多少？（3）一只小船渡过宽为的河流，目标是起点正对着的另一岸上点，已知河水流速与船在静水中的速度之比为.（a）建立小船航线的方程，求其解析解.（b）设，用数值解法求渡河所需时间，任意时刻小船的位置及航行曲线，作图并与解析解比较.（c）若流速为0,0.5,2(m/s)，结果将如何？（4）研究种群竞争模型.当甲、乙两个种群各自生存时，数量演变服从下面规律其中，分别为时刻甲，乙两个种群的数量，为其固有增长率，为它们的最大容量，而当这两个种群在同一环境中生存时，由于乙消耗有限资源而对甲的增长产生影响，将甲的方程修改为（4.22）这里的含意是：对于供养甲的资

6、源而言，单位数量乙（相对）的消耗率为单位数量甲（相对）消耗的倍，类似地，甲的存在亦影响乙的增长，乙的方程应改为（4.23）给定种群的初始值为（4.24）及参数后，方程（4.22）与（4.23）确定了两种群的变化规律，因其解析解不存在，试用数值解法研究以下问题：（a）设，计算，画出它们的图形及相图，说明时间充分大以后的变化趋势（人们今天看到的已经是自然界长期演变的结果）.（b）改变，但与不变（保持），分析所得结果，若，再分析结果，由此你得到什么结论，请用各参数生态学上的含义作出解释.（c）试验当时会有什么结果；当时又会出现什么结果，能解释这些结果吗？