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1、函数的奇偶性一、函数奇偶性的基本概念1.偶函数：一般地，如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有/(-X)=/(X),/(-X)-/(x)=0,那么函数/&)就叫做偶函数。2.奇函数：一般地，如果对于函数/(兀)的定义域内任一个兀，都有/(-x)=-/(%),/(一兀)+/(%)=0,那么函数/(%)就叫做奇函数。注意：(1)判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断/(-x)=±/(x)之一是否成立。(2)在判断/(x)与/(-x)的关系时，只需验证/(-x)±/(%)=0及上◎二±1是否成立即/(兀)可
2、來确定函数的奇偶性。题型一判断下列函数的奇偶性。⑴.f(x)+
3、彳‘(2)/(x)=x3-X(3)G(x)=/(x)-/(-兀),xwR(4)(5)/(x)=xcosx(6)/(x)=xsinx(7)/(x)=2X-2~x,(8)提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断(1)判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。(2)常见的奇函数有：/(x)=x,/(x)=x3,/(x)=sinx,(3)常见的奇函数有：/(x)=x2,/(x)=
4、x
5、,/(x)=cosx(4)若/(x)、g(x)都是偶函数，那么在/心)与g(x)的公共定义域上，/(x)+g(x)为偶函数，f(x)—g(x)
6、为遇函数。当g(x)H0时，四为遇函数。g(x)(5)若/(x),g(x)都是奇函数，那么在/(兀)与g(x)的公共定义域上，/(x)+gC：)是奇函数，/*(兀)一&(兀)是奇函数，是偶函数，当0时，加是偶函数。gO)(6)常函数f(x)=c{c为常数)是僵函数，/(x)=0既是偶函数又是奇函数。(7)在公共定义域内偶函数的和、差、枳、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(8)对于复合函数F(兀)=/[g(x)]；若g(兀)为偶函数，/(兀)为奇(偶)函数，则F&)都为偶函数；若
7、g(x)为奇函数，/(X)为奇函数，则F&)为奇函数;若g(x)为奇函数，/(x)为偶函数，则F(x)为偶函数.题型二三次函数奇偶性的判断已知函数/(%)=ax3+bx2+cx+cl，证明：(1)当a=c=0时，于(兀)是偶函数(2)当b=d=0时，/(兀)是奇函数提示：通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型，如.fCrXdF+bx+c,当b=Qff{x)是偶函数；当a=c=Of/(x)是奇函数。题型三利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值1函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[°-1,2a],贝％+/?=—.2设/(x)=o?+加+2是定义在[l+a,2]上的偶
8、函数，则/(兀)的值域是_[-10,2]—・cinY3已知f(x)=—巴匕一是奇函数，则d的值为1(兀一1)(兀+Q)4已知/(x)=sinx(x+^x1+a)是偶函数，则Q的值为1提示：(1)上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，/(-%)=/(x),/(-%)=-/(x)o(2)因为是填空题，所以还可以用/(-l)=-/(l),/(-l)=/(l)o(3)还可以用奇偶性的性质，如奇函数乘以奇函数是偶函数，奇函数乘以偶函数是奇函数等。题型四利用函数奇偶性的对称D.y=2^1下列函数中为偶函数的是(B)A.yhx'sinxy=xB.y=x2cosC.y=
9、lnx2下列函数屮，既不是奇
10、函数，也不是偶函数的是Ax1“1A.y=xcB.=x4-—C.y=2%2X3下列函数中，为偶函数的是(C)A.y=x+1B.y=—C-y=x4D.y=xx4函数f(x)=--x的图像关于(C)xA.y轴对称B.直线y=-兀对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称5已知函数f(x+l)是/?上的奇函数，JL/(-1)=4,则/(3)=~46已知函数f(x+2)是上的偶函数，则/(-3)=-3,则/(7)=-3提示：(1)上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，/(-^)=/(x),/(-x)=-/U)o(2)奇函数关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。(3)在原点有定义的奇函数必有/(0)=
11、0o(4)已知函数f(x+t)是R上的奇函数,则/(兀)关于点(1,0)对称。⑸已知f(x+t)是偶函数，则/⑴关于直线兀二/对称。题型五奇偶函数中的分段问题1设/(Q为定义在/?上的奇函数，当xno时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，则/(-1)=-32己知/(兀)是奇函数，且当x>0时，f(x)=xx-2,求xvO时，/(对的表达式。/(x)=x
12、x+2
13、3已知函数/(兀)是定义在R上的奇函数,当沦0时,f(x)=2x3-x2，则
