多约束二阶非线性常微分方程拐点的数值求法

《多约束二阶非线性常微分方程拐点的数值求法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、多约束二阶非线性常微分方程拐点的数值求法杜志明冯长根（爆炸灾害预防、控制国家重点实验室，北京理工大学100081）摘要：本文提出了-•种求解多约束二阶非线性常微分方程拐点的数值解法,并以具有平行反应的化学放热系统为例，给出了一个具体算例。关键词：非线性；常微分方程；拐点；数值计算；热爆炸二阶非线性常微分方程的求解是较为复杂的问题之一，而其极值点和拐点的确定又比求解方程的普通解要复杂得多，特別是一些强非线性的微分方程，即使数值求解也十分困难。在对科学研究和工程问题的描述过程中，包含有许多约束参数的非线性微分方程常常是不可避免的，尤其是方程的一些特殊点（如：极

2、值点、拐点等）上的解往往具有十分重要的物理意义。拐点往往对应于物理上的转向点、转变点、临界分歧点等⑴，它是实际系统性质发生根本变化的关键点，因此，确定多约朿微分方程的拐点不仅具有科学意义，也具有实际意义。1.拐点条件拐点是数学上的一类特殊点。对于带有约束参数的微分方程而言，微分方程的解与约朿参数密切相关。每个约束参数都有自己的取值范围，当约束参数超出其取值范圉时，常常导致方程无解。而当约束参数取一些特殊值（如在其取值范闱边界上取值）时，经常对应于微分方程的特殊解，如极值解、拐点处的解等。显然，方程的解是约束参数的函数。本文中微分方程的拐点，指的就是微分方程

3、的一组特殊解，这组解刚好是解随约束参数变化曲线上拐点处的值。下面我们寻求拐点条件。带有多个约束参数的二阶非线性常微分方程具有以下形式：y"=/（x,y,）/;Z],z2，・・・z”J=o（1）边界条件为：%））心0）+03（兀0）=儿（2）式屮，兀是自变量，x0

4、；z1,z2,---,z/J=^i>{x1,77；z1,z2,-sz/J+0/S，〃；Z

5、,Z2,…,zJ—儿=0（4）方程⑴~⑶的极值条件为叫殆gSy）塲=0(5)拐点在物理上相应于某一约束参数z”相应于某一状态变量的二阶导数等于零，即dSpIdif=0,该条件相当于其中一个约束参数z°相应于另一约束参数z”取得极值，即dzg/dzp=0o几何图形上拐点代表非线性曲线上极大值与极小值合二而一的点，也就是极值消失的点，根据定态方程组取得极值的条件以糾，式⑷和式⑸构成的方程组取得拐点处解的条件为13.5J0片站%drj由于dF]/dr/=0而式(6)可简化为

6、上式就是方程(1)~(3)的拐点条件。式⑷、(5)与式⑺联立，即可求得原方程(1)~(3)的拐点。1.数值算法数值计算吋，首先须进行数值积分，然后用迭代法求解式(4)、(5)和(7)构成的方程组的解。数值积分可采用Runge-Kutta-Merson法，迭代法选用Newton-Raphson法，其迭代法式为一「卅第，於)・唯境才)其中F=(Mdz“dzP沏dF^乙F=dzpdF3dzp沏为了计算rF,需定义9个辅助函数:(p3=d3y/d?]2dze{屮3=d3y/d?]2dzpQ3=83y/(p=dy/dZg,02=db/d〃dZq,T]=dy/dzp

7、,屮2=d2y/d/jdz/f,Q,=3)73/7，Q2=d2y/d?j2,各辅助函数及其初值条件可由方程(1)及其初值条件分别对Zq和〃求导得出。3.算例本算例考虑的实际问题是内部具有放热化学反应的系统，用微分方程描述则是带化学反应项的热传导方程。由于化学反应速率与温度呈强字线性性质，微分方程具有非线性性质。若考虑系统内同时存在多个平行的化学放热反应，且反应遵循Arrhenius定律，当系统达到热平衡(化学反应放热速率与系统向环境散热速率相等)时可用以下热平衡方程来描述⑸+~~T~+aiexp[q&/(l+£&)]=0(9)dp'pdp/0

8、条件可采用Frank-Kamenetskii条件⑹d0/dp=00=0,p=0Qi(10)(H)式中，&表示无量纲温度，。为无量纲坐标，j是与形状有关的参数，是系统的约束参数，各参数的定义及物理意义可参阅文献2】。£是系统的一个特殊参数，称为表观活化能。当参数£超过某一数值时，系统温度将随参数£连续变化，系统温度不再有突变性质，由于系统内部热积累而导致的燃烧爆炸现象将不复存在。该数值记为£“，在热爆炸理论中称为转变值，该点即是我们所要求解的拐点MJ色力,则表示系统内第，个化学反应的参数。利用上面介绍的拐点条件和数值方法，可求方程（9）~（11）的拐点，现将

9、数值积分吋所用到的微分方程组罗列如下：ro^jef/p=-sf[&