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1、抽象函数1.已知/(X)是定义在/?上的不恒为零的函数，且对任意的a,beR都满足f(a・b)=妨⑹+bf(a)・(1)求/(O),f⑴的值；(2)判断/(x)的奇偶性，并证明你的结论.解:(1)/(0)=/(00)=0/(0)+0/(0)=0;/(I)=/(I1)=1-/⑴+1•/(I)=2/(1),・•・/(I)=0・(2)・・•/⑴=/[(-1)•(-1)]=(―1)/(一1)+(-D/C-1)=-2/(-1)=0,・・・/(-I)=0・・・・/(-%)=/[(_1)•兀]=(_1)•/(x)+如)二一/⑴+0=-f(x)故/(兀)为奇函数.2.定义在［一1,
2、2］上的函数y=f(x)是增函数且是奇函数，若f(-a+1)+f(4a-5)>0.求实数a的取值范围.解：由f(-a+1)+/(4a-5)>0得/(4a-5)>-/(-a+1),・・•定义在［-1,1］上的函数y=f(x)是增函数且是奇函数，・・.不等式等价为f(4a—5)>f(a-1),-1<4«-5<1则满足“—15a—1514q-5>a-1—343即实数a的取值范圉是一va<三・323.函数f(x)对于任意的实数x,y都有f(x^y)=/(x)+/(y)成立，且当x>0吋/(x)<0恒成立.(1)证明函数f(
3、x)的奇偶性；(2)若f⑴二-2,求函数f(x)在［一2,2］上的最大值；(3)解关于x的不等式-/(-2x2)-/(x)>-f(4x)一/(-2)22解：(1)令x=y=0得f(0)=0,M令戸一x即得f(-x)=-f(x)Af(x)是奇函数(2)设任意X],X2G7?,且X]V*2，则兀2一兀1>0，由己知得/(x2-X,)<0(1)(2)又/(勺一X])=/(X2)+/(-%,)=/(X2)一/(兀
4、)由(1)(2)可知/(x1)>/(x2),由函数的单调性定义知f(X)在(・8,+8)上是减函数・・・XW[—2,2]时，[/(x)]inax=/(一2)=—/
5、(2)=—/(1+1)=—2/(1)=4,・・・f(x)当泻[一2,2]时的最大值为4.(1)由已知得:/(-2x2)-/(4x)>2[/(x)-/(-2)]由(1)知f(x)是奇函数，・••上式又可化为：/(-2x2-4x)>2[/(X+2)]=f(x+2)4-/(x+2)=f(2x+4)rh(2)知f(x)是r上的减函数,・・・上式即：—2/一4xv2x+4化简得(工+2)(工+1)>0・・・原不等式的解集为{x
6、x<-2或兀>-1}1.己知f(x)是定义在(0,+oo)上的增函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.(1)求f(8)(2)求不等
7、式f(x)-f(x-2)>3的解集.解：(1)由题意得f(8)=f(4x2)=f(4)+f(2)=f(2x2)+f(2)=f(2)+f(2)+f(2)=3f(2)又V/(2)=1・•・/(8)=3(2)不等式化为f(x)>f(x-2)+3•・・f(8)=3/.f(x)>f(x—2)+f(8)=f(8x—16)Tf(x)是(0,+oo)上的增函数8(x-2)>0x>8(x-2)2.已知函数/(x),g(x)同时满足:g(x-y)=g(x)g(y)+/(-D=-l/(0)=0/(l)=l求g(o),g⑴,g(2)的值.解：令x=y得：/2(x)+g2(y)=g(0)再令
8、x=0,即得g(0)=0,l・若g(0)=0,令x=y=1时，得/⑴=0不合题意,故g(0)=1；g(0)=g(l-1)=g(l)g(l)+/(1)/(1)即l=g2(l)+］,所以g(l)=0;那么g(-1)=g(0-1)=g(O)g⑴+/(0)/(l)=o,gd)=g［1-(-l)］=g⑴g(-1)+/(l)/(-l)=-1•1.设./(x)是R上的函数，且满足.几0)=1,并且对任意实数x,尹，有^x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求/U)的解析式.解因为对任意实数x,尹，有/(.¥—y)=f(x)~y(2x—y+1),所以令y=x,有./(0)=/U)
9、—x(2x—兀+1),即人0)=/(对一班兀+1).又y(o)=i,.*./(x)=x(x+1)+1=x2+x+1.2.函数/(x),g(x)在区间［o,b］上都有意义，且在此区间上①/(兀)为增函数，/(x)>0；②g(x)为减函数，g(x)<0.判断/(x)g(x)在［d,b］的单调性，并给出证明.解:令a0，即可得/(兀2)
