均值不等式的推广

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1、均值不等式的推广:≥(a1+a2+…+an)/n≥≥n/(1/a1+1/a2+…+1/an)证明：1.≥(a1+a2+…+an)/n两边平方,即证((a1)^2+(a2)^2+…+(an)^2)≥(a1+a2+…+an)^2/n（如果你知道柯西不等式的一个变式，直接代入就可以了）柯西不等式：(a1^2+a2^2+...+an^2)*（b1^2+b2^2+...+bn^2）≥（a1b1+a2b2+...+anbn）^2柯西不等式变式：[a1^2+a2^+...+an^2]×n≥（a1+a2+...+an）^2而且只有在a1

2、=a2=…=an时不等式才可以取得等号！！！2.(a1+a2+…+an)/n≥琴生不等式:若f(x)在定义域内是凸函数，则nf((x1+x2+...+xn)/n)≥f(x1)+f(x2)+...+f(xn)令f(x)=lgx显然，lgx在定义域内是凸函数[判断凸函数的方法是二阶导数<0或从图象上直接观察]nf((x1+x2+...xn)/n)=nlg[(a1+a2+..an)/n]≥f(x1)+f(x2)+...f(xn)=lga1+lga2+lga3+...+lgan=lga1*a2*…*an也即lg[(a1+a2+.

3、.an)/n]≥1/n(lga1a2a3...an)=lg(a1a2a...an)^(1/n)=lgf(x)在定义域内单调递增，所以(a1+a2+..an)/n≥而且只有在a1=a2=…=an时不等式才可以取得等号！！！