均值不等式的性质推广及应用

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1、第24卷第5期甘肃联合大学学报(自然科学版)V01．24No．52010年9月JournalofGansuLianheUniversity(NaturalSciences)Sept．2010文章编号：1672—691X(2010)06—0026—06均值不等式的性质推广及应用伏春玲，董建德(宁夏大学数学计算机学院，宁夏银川750021)摘要：不等式在数学中占有重要的地位．不等式的证明经常用到算术平均数、几何平均数、调和平均数之间的关系．本文着重讲述了这几种均值不等式之间的关系并加以推广，以及对均值不等式在

2、指数方面作了推广，并且将“n个正数的算数平均数大于等于几何平均数”这一重要不等式推广到“加权算术平均值的函数与函数值的加权算术平均值之间的关系”，继而得出结论“n个正数的加权算术平均数不小于它们的加权几何平均数，同时向矩阵方面加以推广．关键词：均值不等式；平均值；推广；应用中图分类号：0122．3文献标识码：A均值不等式在不等式理论中处于核心地位，≥是现代分析数学中应用最广泛的不等式之一．巧妙地应用此不等式在求最值，比较大小，证明不等√·，式等各方面都可得到较为理想的解法．均值不等所以式的推广是均值不等式

3、的延伸，也是解题的重要(a十n+⋯+n”·)／z+≥z干依据之一，本文将对均值不等式进行推广并加以于是，由数学归纳法原理可知：≤A对一应用．切=2(=1，2，⋯)成立．1几种常见的平均值及均值不等式②设，l为任意自然数，令，l=2一￡(￡=1，2，⋯)，因A=(口。+a2+⋯+a)／n，于是设ai∈R+(f=1，2，⋯，，1)，-8"一(口1，a2，⋯，a)，则(口+n2十⋯+口+A+A+⋯+A)／(n+￡)=(1)算术平均A一(n+口2+⋯+a．)／n；(nA+tA)／(+￡)=A。由于，z+t=2，故

4、由①得，(2)几何平均一；(口l+口2+⋯+a+tA)／(’l+t)≥(3)调和平均H：／(++⋯+)；“l／-'／2“”√al。a2⋯aH’^·则以上平均值的关系为H≤≤A．即A≥瓦，所以证明先证明≤A．A‘≥aI·a2⋯a·A：．①设，l=2(m=1，2，⋯)，当m=1时，则，l两边除以A：得：A：≥口·az⋯a．=2．由(~／一~／)。=a，一2~／+n。≥0故Gn≤A．亦即，对一切自然数，l，≤A可得口1+a2≥2Jal·a2．所以(al+a2)／2≥成立．。下面证：H≤当m-k，即n-~．-2时

5、，令b=1／a(=1，2，⋯，，1)且ai>0，由于(口。+口+⋯+口：)／忌≥(6+6。+⋯+6)／≥_=_，即成立，则当=五+1，即，l一2H时，有c十+．．·+丢(+、)≥两a边l取a2倒数得收稿日期：2010—03—20．作者简介：伏春玲(1972-)，女，新疆喀什人，硕士，主要从事课程与数学教学论研究．第5期伏春玲等：均值不等式的性质推广及应用27a)]≥[nlf(sc1)+口2f(x2)+⋯+口厂(z)J／(a1／(++⋯+)≤，ala2a+a2+⋯+a)．亦即H≤G．d)当(z)>1o时，综

6、上所述，有H≤G≤A(当且仅当a—az厂[(n1z1+a2z2+⋯+anx)／(a1+a2+⋯+=⋯一n时取等号)．证毕．a)]≤Ea。f(x)+a2f(x)+⋯+口厂(z)]／(n。+a2+⋯+a)．2均值不等式的推广其中，a>0，一1，2，⋯，”2．1推广1因为a>O，=：=1，2，⋯，，所以此定理反映了定理1若在G≤A两边取对数得个自变量加权算术平均值的函数值与函数值的ln[(n-+口z+⋯+nn)／]≥(1)加权算术平均值之间的关系．(1n日l+Ina2+⋯+lna)／n．证明c)设一(口lz1+

7、a2z2+⋯+an．T,)／设，(z)一ln(x)，那么(1)变(口+口：+⋯+n)，由泰勒展开式及／()≤0，得厂[(口·+n。+⋯+口”)／]≥(2)f(x)===厂()+(z一)f()+(z一)·厂Ef(a)+f(a。)+⋯+f(a)]／．[+(z一)3／z≤厂()+(五～)f()(一1，2，设，()二阶可导，那么⋯，，OO，一l，2，⋯，，于是a,f(x)≤，()口≥Ef(x，)+f(sc。)+⋯+厂(z)3／n；+(口ma)厂

8、(．所以b)当(z)>10时，fE(x。+：+⋯+z)／n3∑nf(x)+≤fE(x)+厂(。)+⋯+厂(z)]／n；f=l≤此定理反映了个自变量算术平均值的函数／_’~∑n)／()．、，值与函数值的算术平均值之间的关系．i=1证明a)设一(】++⋯+)／n，由泰把一(alzl+∑口口2．7c2+⋯+nz)／(al+n2+勒展开式及当厂(z)≤o，得⋯+口)代入得，f(x)=厂(+(z一)／()+(z一)·∑nf／(x)≤厂(