不动点法解题目

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1、利用“不动点”法巧解高考题定义；方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点。利用递推数列f（x）的不动点,可将某些递推关系an=￡(an-1)所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法叫不动点法。对于这个方法有几个重要定理，若只从代数角度理解，恐怕对许多中学生来说是有难度的。下面笔者对这几个定理予以几何解释：定理1：若f(x)=ax+b(a≠0,a≠1)，p是f(x)的不动点，an满足递推关系an=￡(an-1),(n>1)则an-P=a(an-1-p),即{an-P}是公比为a的等比数列。它的代数证明如下：证明：因为p是f（x）的不动点,所以ap+b=p,所以b-p=-a

2、p,由an=a.an-1+b得an-p=a.an-1+b-p=a(an-1-p),所以{an-P}是公比为a的等比数列。对这一定理的几何意义如下：f(x)=x,即f(x)与g(x)=X的交点一目了然，an-p/an-1-p即为f(x)的斜率a。99上面是【文1】给出的纯代数证明，下面看看它所蕴含的几何意义。与定理一的几何意义相似，表示的是两条直线的的斜率相比是定值k,但怎么证明笔者尚未想到简便的方法，只能从上面的代数方法借鉴。第二种情况也是如此，an-p/an-1-p+k(an-p)=1.如下图，由于笔者能力有限，尚未发现几何证法。99由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型，

3、对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此我们可以利用对函数“不动点”问题的研究结果，来简化对数列通项问题的探究。笔者在长期的教学实践中，不断总结探究反思，对那些难求通项的数列综合问题，形成利用函数不动点知识探究的规律性总结，以期对同学们解题有所帮助．1不动点的定义一般的，设的定义域为,若存在，使成立，则称为的不动点，或称为图像的不动点。2求线性递推数列的通项定理1设，且为的不动点，满足递推关系，，证明是公比为a的等比数列。证：∵是的不动点，所以，所以，所以，∴数列是公

4、比为的等比数列。9例1（2010上海文数21题）已知数列的前项和为，且，(1)证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.证：(1)当n=1时，a1=-14；当时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，即即，记，令，求出不动点，由定理1知：，又a1-1=-15≠0，所以数列{an-1}是等比数列。(2)解略。3求非线性递推数列的通项定理2设，且是的不动点，数列满足递推关系，，（ⅰ）若，则数列是公比为的等比数列；（ⅱ），则数列是公差为的等差数列。证：（ⅰ）由题设知；同理∴，所以数列是公比为的等比数列。（ⅱ）由题设知＝的解为，∴且＝。所以9，所以数列是公

5、差为的等差数列。例2（2006年全国Ⅱ卷22题）设数列的前项和为，且方程有一根为。求数列的通项公式。解：依题，且，将代入上式，得，记，令，求出不动点，由定理2（ⅱ）知：，所以数列是公差为的等差数列，所以，因此数列的通项公式为。例3（2010年全国卷Ⅰ22题）已知数列中，（Ⅰ）设，求数列的通项公式.（Ⅱ）求使不等式成立的的取值范围.解：（Ⅰ）依题，记，令，求出不动点；由定理2（ⅰ）知：，；两式相除得到，所以是以为公比，为首项的等比数列，所以，从而（Ⅱ）解略。9定理3设，且是的不动点，数列满足递推关系，，则有；若，则是公比为的等比数列。证：∵是的不动点，∴，。，又，则，∴，故是公比为的等比

6、数列。例4（2010东城区二模试题）已知数列满足，．⑴求证：；⑵求证：；⑶求数列的通项公式．证：⑴、⑵证略；⑶依题，记，令，求出不动点；由定理3知：，，所以，又，所以．又，令，则数列是首项为，公比为的等比数列．所以．由，得．所以．利用函数“不动点”9法求解较复杂的递推数列的通项问题，并不局限于以上三种类型，基于高考数列试题的难度，本文不再对更为复杂的递推数列进行论述，以下两个定理供有兴趣的同学探究证明。定理4设且是的最小不动点，数列满足递推关系，，则有定理5设且是的不动点，数列满足递推关系，，则有9