利用不动点法巧解高考题

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1、利用“不动点”法巧解高考题由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此我们可以利用对函数“不动点”问题的研究结果，来简化对数列通项问题的探究。笔者在长期的教学实践中，不断总结探究反思，对那些难求通项的数列综合问题，形成利用函数不动点知识探究的规律性总结，以期对同学们解题有所帮助．1不动点的定义一般的，设的定义域为,若存在，使成立，则称为的不动点，或称为图像的不动点。2求线性递推数列的通项定理

2、1设，且为的不动点，满足递推关系，，证明是公比为a的等比数列。证：∵是的不动点，所以，所以，所以，∴数列是公比为的等比数列。例1（2010上海文数21题）已知数列的前项和为，且，(1)证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.证：(1)当n=1时，a1=-14；当时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，即即，记，令，求出不动点，由定理1知：，又a1-1=-15≠0，所以数列{an-1}是等比数列。(2)解略。3求非线性递推数列的通项定理2设，且是的不动点，数列满足递推关系，，（ⅰ）若，则数列是公比为5的等比数列；（

3、ⅱ），则数列是公差为的等差数列。证：（ⅰ）由题设知；同理∴，所以数列是公比为的等比数列。（ⅱ）由题设知＝的解为，∴且＝。所以，所以数列是公差为的等差数列。例2（2006年全国Ⅱ卷22题）设数列的前项和为，且方程有一根为。求数列的通项公式。解：依题，且，将代入上式，得，记，令，求出不动点，由定理2（ⅱ）知：，所以数列是公差为的等差数列，所以5，因此数列的通项公式为。例3（2010年全国卷Ⅰ22题）已知数列中，（Ⅰ）设，求数列的通项公式.（Ⅱ）求使不等式成立的的取值范围.解：（Ⅰ）依题，记，令，求出不动点；由定理2（ⅰ）知：，；两式相除得到，所以是以为公比，

4、为首项的等比数列，所以，从而（Ⅱ）解略。定理3设，且是的不动点，数列满足递推关系，，则有；若，则是公比为的等比数列。证：∵是的不动点，∴，。5，又，则，∴，故是公比为的等比数列。例4（2010东城区二模试题）已知数列满足，．⑴求证：；⑵求证：；⑶求数列的通项公式．证：⑴、⑵证略；⑶依题，记，令，求出不动点；由定理3知：，，所以，又，所以．又，令，则数列是首项为，公比为的等比数列．所以．由，得．所以．利用函数“不动点”法求解较复杂的递推数列的通项问题，并不局限于以上三种类型，基于高考数列试题的难度，本文不再对更为复杂的递推数列进行论述，以下两个定理供有兴趣

5、的同学探究证明。定理4设且是的最小不动点，数列满足递推关系，，则有定理5设且是的不动点，数列5满足递推关系，，则有5