计量地理学 回归分析

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1、第2节回归分析一元线性回归模型多元线性回归模型非线性回归模型一、一元线性回归模型定义：假设有两个地理要素（变量）x和y，x为自变量，y为因变量。则一元线性回归模型的基本结构形式为式中：a和b为待定参数；为各组观测数据的下标；为随机变量。（3.2.1）记和分别为参数a与b的拟合值，则一元线性回归模型为（3.2.2）式代表x与y之间相关关系的拟合直线，称为回归直线；是y的估计值，亦称回归值。（3.2.2）①参数a与b的最小二乘拟合原则要求yi与的误差ei的平方和达到最小，即②根据取极值的必要条件，有（3.2.4）（一）参数a、b

2、的最小二乘估计（3.2.3）（3.2.5）（3.2.6）③解上述正规方程组（3.2.4）式，得到参数a与b的拟合值（二）一元线性回归模型的显著性检验①方法：F检验法。②总的离差平方和：在回归分析中，表示y的n次观测值之间的差异，记为可以证明（3.2.9）（3.2.8）在式（3.2.9）中，Q称为误差平方和，或剩余平方和而称为回归平方和。③统计量F④F越大，模型的效果越佳。统计量F～F（1，n-2）。在显著水平α下，若F>Fα，则认为回归方程效果在此水平下显著。一般地，当F

3、3.2.10）二、多元线性回归模型回归模型的建立①多元线性回归模型的结构形式为（3.2.11）式中：为待定参数；为随机变量。②回归方程:如果分别为式（3.2.11）中的拟和值，则回归方程为在（3.2.12）式中，b0为常数，b1,b2,…bk称为偏回归系数。偏回归系数的意义是，当其他自变量都固定时，自变量每变化一个单位而使因变量平均改变的数值。（3.2.12）③偏回归系数的推导过程:根据最小二乘法原理，的估计值应该使由求极值的必要条件得方程组（3.2.14）式经展开整理后得（3.2.13）（3.2.14）方程组（3.2.15

4、）式称为正规方程组。引入矩阵（3.2.15)则正规方程组（3.2.15）式可以进一步写成矩阵形式求解得引入记号（3.2.16）正规方程组也可以写成回归模型的显著性检验①回归平方和U与剩余平方和Q：②回归平方和③剩余平方和为④F统计量为计算出来F之后，可以查F分布表对模型进行显著性检验。非线性关系线性化的几种情况对于指数曲线，令,可以将其转化为直线形式：，其中，；对于对数曲线，令，，可以将其转化为直线形式：；对于幂函数曲线，令，，可以将其转化为直线形式：其中，；三、非线性回归模型对于双曲线，令，转化为直线形式：；对于S型曲线，

5、可转化为直线形式：；对于幂乘积，只要令，就可以将其转化为线性形式其中，；对于对数函数和只要令，就可以将其化为线性形式例:表3.2.1给出了某地区林地景观斑块面积（area）与周长（perimeter）的数据。下面我们建立林地景观斑块面积A与周长P之间的非线性回归模型。序号面积A周长P序号面积A周长P110447.370625.39242232844.3004282.043215974.730612.286434054.660289.307330976.770775.7124430833.840895.98049442.902

6、530.202451823.355205.131510858.9201906.1034626270.300968.060621532.9101297.9624713573.9601045.07276891.680417.0584865590.0802250.43583695.195243.90749157270.4002407.54992260.180197.239502086.426266.54110334.33299.729513109.070261.8181111749.080558.921522038.617320.

7、396122372.105199.667533432.137253.335138390.633592.893541600.391230.030146003.719459.467553867.586419.406表3.2.1某地区各个林地景观斑块面积（m2）与周长（m）15527620.2006545.291561946.184198.66116179686.2002960.4755777.30556.9021714196.460597.993587977.719715.7521822809.1801103.070591927

8、1.8201011.1271971195.9401154.118608263.480680.710203064.242245.0496114697.1301234.11421469416.7008226.009624519.867326.317225738.953498.656631315