蒙特卡罗模拟方法课件

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1、蒙特卡罗模拟方法•一、蒙特卡罗方法概述•二、蒙特卡罗方法模型•三、蒙特卡罗方法的优缺点及其适用范围•四、相关案例分析及软件操作•五、问题及相关答案MonteCarlo方法的发展历史•早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。从方法特征的角度来说可以一直追溯到18世纪后半叶的蒲丰（Buffon）随机投针试验，即著名的蒲丰问题。1707-1788•1777年，古稀之年的蒲丰在家中请来好些客人玩投针游戏（针长是线距之半），他事先没有给客人讲与π有关的事。客人们虽然不知道主人的用意，但是都参加了游戏。他们共投针2212次，

2、其中704次相交。蒲丰说，2212/704=3.142，这就是π值。这着实让人们惊喜不已。例．蒲丰氏问题•设针投到地面上的位置可以用一组参数（x,θ）来描述，x为针中心的坐标，θ为针与平行线的夹角，如图所示。•任意投针，就是意味着x与θ都是任意取的，但x的范围限于［0，a］，夹角θ的范围限于［0，π］。在此情况下，针与平行线相交的数学条件是针在平行线间的位置xlsin1,当xlsins(x,)0,其他N1sNs(xi,i)Ni1Ps(x,)f(x)f()dxd12dlsindx2l0

3、0aa2l2laPasN•一些人进行了实验，其结果列于下表：实验者年份投计次数π的实验值沃尔弗(Wolf)185050003.1596斯密思(Smith)185532043.1553福克斯(Fox)189411203.1419拉查里尼190134083.1415929(Lazzarini)20世纪四十年代，由于电子计算机的出现，利用电子计算机可以实现大量的随机抽样的试验，使得用随机试验方法解决实际问题才有了可能。其中作为当时的代表性工作便是在第二次世界大战期间，为解决原子弹研制工作中，裂变物质的中子随机扩散问题，美国数学家冯.诺

4、伊曼（VonNeumann）和乌拉姆（Ulam）等提出蒙特卡罗模拟方法。由于当时工作是保密的，就给这种方法起了一个代号叫蒙特卡罗，即摩纳哥的一个赌城的名字。用赌城的名字作为随机模拟的名称，既反映了该方法的部分内涵，又易记忆，因而很快就得到人们的普遍接受。蒙特卡罗方法的基本思想•蒙特卡罗方法又称计算机随机模拟方法。它是以概率统计理论为基础的一种方法。•由蒲丰试验可以看出，当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验的方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干个具体观察值的算

5、术平均值，通过它得到问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。因此，可以通俗地说，蒙特卡罗方法是用随机试验的方法计算积分，即将所要计算的积分看作服从某种分布密度函数f(r)的随机变量ｇ(r)的数学期望gg(r)f(r)dr0通过某种试验，得到Ｎ个观察值r，r，…，r（用概12N率语言来说，从分布密度函数f(r)中抽取Ｎ个子样r，1r，…，r，），将相应的Ｎ个随机变量的值g(r)，2N1g(r)，…，g(r)的算术平均值2NN1gNg(ri)Ni1作为积分的估计值（近似值）。计算机模拟试验过程计算机模拟试验过程，就是将试验过程

6、（如投针问题）化为数学问题，在计算机上实现。模拟程序•l=1;•d=2;•m=0;•n=10000•fork=1:n;•x=unifrnd(0,d/2);•y=unifrnd(0,pi);•ifx<0.5*1*sin(y)•m=m+1•else•end•end•p=m/n•pi_m=1/p①建立概率统计模型N②收集模型中风险变量的数据，确定风⑤根据随机数在各风险因数的分布函数险变量的概率分布中随机抽样，代入第一步中建立的数学模型N③根据风险分析的精度要求，确NN定模拟次数④建立对随机变量的抽样方法，产生随机数。⑥N个样本值⑦统计分析，估计

7、均值，标准差例子1N某投资项目每年所得盈22AaPbLcQd利额A由投资额P、劳动生产率L、和原料及能收集P,L,Q数据，确定分布函源价格Q三个因素。数fPfLfQ(),(),()N抽取122P,L,Q一AaPbLcQdN模拟次数N；根据分组随机布函数，产生随机数数，带根据历史数据，预测未来。入模型产生N个A值统计分析，估计均值，标准差X模型建立的两点说明•MonteCarlo方法在求解一个问题是，总是需要根据问题的要求构造一个用于求解的概率统计模型，常见的模型把问题的解化为一个随机变量的某个参数的估计问题。•要估计的参数

8、通常设定为的数学期望（亦平均值，即）。按统计学惯例，可用的样本的平均值来估计，即XXEX()X(...XX1,)2,Xnn1XXknk1收集模型中风险变量的数据，确定风险因