蒙特卡罗模拟方法

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1、MonteCarloSimulationMethods(蒙特卡罗模拟方法)主要内容:1.各种随机数的生成方法.2.MCMC方法.1从Buffon投针问题谈起2Buffon投针问题3试验者时间(年)针长投针次数相交次数π的估计值Wolf18500.80500025323.15956Smith18550.60320412183.15665Fox18840.7510304893.15951Lazzarini19250.83340818083.141592924数值积分问题5MonteCarlo数值积分的优点与一般的数值积分方法比较，MonteCarlo方法具有以下优点：6随机模拟计算

2、的基本思路1.针对实际问题建立一个简单且便于实现的概率统计模型，使所求的量（或解）恰好是该模型某个指标的概率分布或者数字特征。2.对模型中的随机变量建立抽样方法，在计算机上进行模拟测试，抽取足够多的随机数，对有关事件进行统计3.对模拟试验结果加以分析，给出所求解的估计及其精度(方差)的估计4.必要时，还应改进模型以降低估计方差和减少试验费用，提高模拟计算的效率7随机数的生成1.蒙特卡罗模拟的关键是生成优良的随机数。2.在计算机实现中,我们是通过确定性的算法生成随机数,所以这样生成的序列在本质上不是随机的,只是很好的模仿了随机数的性质(如可以通过统计检验)。我们通常称之为伪随机数(

3、pseudo-randomnumbers)。3.在模拟中，我们需要产生各种概率分布的随机数，而大多数概率分布的随机数产生均基于均匀分布U(0,1)的随机数。8U(0,1)随机数的生成一个简单的随机数生成器：9一个简单的例子10一个简单的例子(续)上面的例子中，第一个随机数生成器的周期长度是10，而后两个生成器的周期长度只有它的一半。我们自然希望生成器的周期越长越好，这样我们得到的分布就更接近于真实的均匀分布。11线性同余生成器(LinearCongruentialGenerator)12常用的线性同余生成器ModulusmMultiplieraReference2^31-1=21

4、4748364716807Lewis,Goodman,andMiller39373L’Ecuyer742938285FishmanandMoore950706376FishmanandMoore1226874159FishmanandMoore214748339940692L’Ecuyer214748356340014L’Ecuyer13复杂一些的生成器（一）1.CombiningGenerators:14复杂一些的生成器（二）2.Multiplerecursivegenerator15算法实现许多程序语言中都自带生成随机数的方法，如c中的random()函数，Matlab中的r

5、and()函数等。但这些生成器生成的随机数效果很不一样，比如c中的函数生成的随机数性质就比较差，如果用c，最好自己再编一个程序。Matlab中的rand()函数，经过了很多优化。可以产生性质很好的随机数，可以直接利用。16由rand()函数生成的U[0,1]随机数17由rand函数生成的2维随机点18从U(0,1)到其它概率分布的随机数U(0,1)的均匀分布的随机数，是生成其他概率分布随机数的基础，下面我们主要介绍两种将U(0,1)随机数转换为其他分布的随机数的方法。1.逆变换方法(InverseTransformMethod)2.舍取方法(Acceptance-Rejectio

6、nMethod)19InverseTransformMethod20InverseTransformMethod21几个具体例子（一）22几个具体例子（二）23几个具体例子（三）24标准正态分布随机数的生成正态分布是概率统计中最重要的分布，在此我们着重讨论如何生成标准正态分布随机数。引理：25Box-Muller算法26逆变换方法（一）我们无法通过具体的数学表达式计算正态分布函数的逆函数，我们必须通过数值的方法逼近正态函数下面我们介绍Beasley-Springer-Moro方法。27逆变换方法（二）28逆变换方法（三）a0=2.50662823884b0=-8.47351093

7、090a1=-18.61500062529b1=23.08336743743a2=41.39119773534b2=-21.06224101826a3=-25.44106049637b3=3.13082909833c0=0.3374754822726147c5=0.0003951896511919c1=0.9761690190917186c6=0.0000321767881768c2=0.1607979714918209c7=0.0000002888167364c3=0.0276