奈为斯托克斯方程

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1、材料工程基础学科论文题目：奈为斯托克斯方程的推导及应用姓名:胡贤蒙系别班级：化学与材料工程系10无机非班学号：1003031025完成时间：2012-11-17摘要：纳维■斯托克斯方程，描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。简称N・S方程，它是一个非线性偏微分方程，求解非常困难和复杂，目前只有在某些十分简单的流动问题上能求得精确解；但在有些情况下，可以简化方程而得到近似解。例如当雷诺数Re1时，绕流物体边界层外，粘性力远小于惯性力，方程中粘性项可以忽略，N・S方程简化为理想流动中的欧拉方程（=—Np+pF）；而在边界层内，N・S方程又可简化为边界层方

2、程，等等。在计算机问世和迅速发展以后，N・S方程的数值求解才有了很大的发展。正文：1、基本的介绍纳维一斯托克斯方程（Navier・Stokesequations）,以克劳德•路易•纳维（Claude-LouisNavier）和乔治•加布里埃尔•斯托克斯命名，是一组描述像液体和空气这样的流体物质的方程。这些方程建立了流体的粒子动量的改变率（加速度）和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力（类似于摩擦力）以及引力之间的关系。这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。这样，纳维■斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。他们是最有用的

3、一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程。它们可以用于模拟天气，洋流，管道中的水流，星系中恒星的运动，翼型周围的气流。它们也可以用于飞行器和车辆的设计，血液循环的研究，电站的设计，污染效应的分析，等等。纳维■斯托克斯方程依赖微分方程来描述流体的运动。这些方程，和代数方程不同，不寻求建立所研究的变量（譬如速度和压力）的关系，而是建立这些量的变化率或通量之间的关系。用数学术语来讲，这些变化率对应于变暈的导数。这样，最简单情况的0粘滞度的理想流体的纳维•斯托克斯方程表明加速度（速度的导数，或者说变化率）是和内部压力的导数成正比的。这表

4、示对于给定的物理问题的纳维■斯托克斯方程的解必须用微积分的帮助才能取得。实用上，只有最简单的情况才能用这种方法解答，而它们的确切答案是已知的。这些情况通常涉及稳定态（流场不随时间变化）的非湍流，其中流体的粘滞系数很大或者其速度很小（小的雷诺数）。对于更复杂的情形，例如厄尔尼诺这样的全球性气象系统或机翼的升力，纳维■斯托克斯方程的解必须借助计算机。这本身是一个科学领域，称为计算流体力学。虽然湍流是日常经验屮就可以遇到的，但这类问题极难求解。一个$1,000,000的大奖由克雷数学学院于2000年5月设立，奖给对于能够帮助理解这一现象的数学理论作岀实质性进

5、展的任何人。2、推导在解释纳维■斯托克斯方程的细节之前，首先，必须对流体作儿个假设。第一个是流体是连续的。这强调它不包含形成内部的空隙，例如，溶解的气体的气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。另一个必耍的假设是所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强P,速度V,密度，温度Q,等等。该方程从质量，动量，和能量的守恒的基本原理导出。对此，有时必须考虑一个有限的任意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用。该有限体积记为Omega,而其表而记为partialOmegao该控制体积可以在空间中固定，也可能随着流体运动。以下是推导公式，全是笔者经过特殊软件制

6、作而成的：yx(duxdu)Pxy~^yx~Txy~Tyx-“—+—Pyz=P^y=Tyz=Tzy~“Idydx)(du.}—+—-Idzdz)(duxdu.]—+—二dzdx丿P二“(2学•udx3丿dwv2)—--V

7、lipdu„dx~dy~dz~3dydxdydz3dydyid2uy“dduxduydu23“du+"(苕十肩++亍忘(击+芥十17)巧石v"十忘3tp—=pFh-VP+//V2m+-//V(V•w)dr3-p詈p%_+-这就是莱维斯托克斯方程。亦一去--ap-a>ap-dz--P-duydu23、莱维斯托克斯方程的应用：它是一个非线性偏微分方程，求解非常困难和复杂，目前只有在某些十分简单的流动问题上能求得精确解；但在有些情况下，可以简化方程而得到近似解。例如当雷诺数Re1吋,绕流物体边界层外，粘性力远小于惯性力，方程中粘性项可以忽略，N・S方程简化为

8、理想流动屮的欧拉方程（=—Np+pF）；而在边界层内，N・S方程又可简化为边界层方程，等等。在