奈斯-斯托克斯方程的分析

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1、姓名：吴勰学号：1203023005HefeiUniversity论文题目:奈维-斯托克斯方程的分析学科专业：__化工传递过程基础___作者姓名：吴勰导师姓名：胡坤宏完成时间：2014年10月9日奈斯•斯托克斯方程的分析基本假设在解释纳维-斯托克斯方程的细节之前，首先，必须对流体作几个假设。笫一个是流体是连续的。这强调它不包含形成内部的空隙，例如，洛解的气体的气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。另一个必要的假设是所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强，速度，密度，温度，等等。该方程从质量，动量，和能量的守恒的基本原理导出。对此，有吋必

2、须考虑一个有限的任意体积，称力控制体积，在其上这些原理很容易应用。该有限体积记为而其表面记为3Q。该控制体积可以在空间中固定，也可能随着流体运动。这会导致一些特殊的结果，我们将在下节看到。实质导数运动流体的属性的变化，譬如大气屮的风速的变化，可以有两种不同的方法来测:y:。可以用气象站或者气象气球上的风速仪来测量。显然，第一种情况下风速仪测量的速度是所有运动的粒子经过一个固定点的速度，而笫二种情况下，仪器在测量它随着流体运动时速度的变化。同样的论证对于密度、温度、等等的测量也是成立的。因此，当作微分时必须区分两种情况。第一种情况称为

3、空间导数或者欧拉导数。第二种情况称为实质或拉格朗日导数。例子请参看实质导数条目。实质导数定义为算子（operator）:+(▽•▽)(*)其中V是流体的速度。方程右边的第一项是普通的欧拉导数（也就是在固定参照系屮的导数）而第二项表示由于流体的运动带來的变化。这个效应称为移流（advecticm）。L的守恒定律在一个控制体积上的积分形式是：因为Q是共动的，它随着时间而改变，所以我们不能将时间导数和积分简单的交换。LeKl=+[(V•nc船)因为这个表达式对于所有Q成立，它可以简化为:r——L+(V.v)L=—L+V.(vL)=0Dt

4、dt对于不是密度的量（酮它不必在空间中积分），＞了正确的共麵导数。守恒定律NS方程可以从守恒定律通过上述变挽导出，并且需要用状态定律来闭合。在控制体积上，使用上述变换，下列的量视为守恒：质量、能量、动量、角动量连续性方程质量的守恒写作：字+V.(/?r)=Oat其中P是流体的密度。在不可压缩流体的情况P不是时间或空阀的函数。方程简化为：▽•V=0动量守恒动量守恒写作：*(/?V)+V(/7V®V)=注意v®v是一个张量，®代表张量积。我们可以进一步简化，利用连续性方程，这成为:Dv我们可以认出这就足通常的F-mao方程组的形式纳维-

5、斯托克斯方程的一般形式是:Dv~Dt▽P+/V关于动量守恒。张iP代表施加在一个流体粒子上的表面力(应力张tt)。除非流体是由象旋涡这样的旋转自由度组成，P是一个对称张量。一般来讲，我们宥如下形式：GTxvxyp00、p=TGyx0p0+^yx^yy^Pr.vzTTzxzy<00p)其中＜7是法向约束，而T是切向约束。迹L+1在流体处于平衡态时为0。这等价于流体粒子上的法向力的积分为0。我们再加上连续性方程：对于处于平衡的液体，P的迹是3p。其中P是压强最后，我们得到：P^=-Vp+V-T+p/其屮T是P的非对角线部分。闭合问题这

6、些方程是不完整的。要对它们进行完备化，必须对P的形式作一些假设。例如在理想流体的情况t分量为0。用于完备方程组的方程是状态方程。再如，压强可以主要是密度和温度的函数。要求解的变量是速度的各个分量，流体密度，静压力，和温度。流场假定为可微并连续，使得这些平衡得以用偏微分方程表达。这些方程可以转化为涡度和流函数这些次变的威尔金森方程组。解依赖于流体的性质（例如粘滞度、比热、和热导率），并且依赖于所研究的区域的边界条件。P的分量是流体的一个无穷小元上面的约束。它们代表垂直和剪切约束。P是对称的，除非存在非零的自旋密度。所谓非牛顿流体是就是

7、其中该张量没有特殊性质使得方程的特殊解出现的流体些是问题的特定的常见简化，有时解是己知的。牛顿流体在牛顿流体中，如下假设成立:其中p是液体的粘滞度。Ov/+▽，卜/V—+A+▽(▽•V)%dtJdx^=pfidpdx：Adx^Xj+1什3dx^x..其中为简化书写，对脚标使用丫爱因斯坦求和约定。不采用简化书写的完整形式非常繁琐，分别为：动量守恒：dudududupIhUhVhW——"丨七dtdydzdxdxA.2-—---(V-v)dx3ddyA.dydxdzdxdzdvdv3v3vHUhVhWdtdxdydzydydyA.2音-I

8、•(叫drdvdw)drdudv)/_+—dzA*—+