上课用.3.2相似三角形的性质

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1、1.3.2相似三角形的性质1.平行线等分线段定理(1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也①.(2)推论1：x经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必②第三边.(3)经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线③另一腰.相等平分平分复习回顾2.平行线分线段成比例定理及推论三条平行线截任意两条直线，所截出的④成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的⑤成比例.3.相似三角形的定义对应角⑥,对应边⑦的两个三角形叫做两个相似三角形.对应线段对应线段相等成比例直角三角形相似的判定定理定理（1）如果两个直

2、角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似。（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。类比直角三角形全等的判定定理(斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等)能得直角三角形相似的另一个判定定理.两角对应相等两边对应成比例及夹角相等定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。∽∽ABCA΄B΄C΄.kCAACBAAB：=¢¢=¢¢设证明例5.如图，已知AD、BE分别是△ABC中BC边和AC边上的高，H是AD、BE的交点求证：(1)ADBC=BEAC(2)AHHD=

3、BHHEHEDABC分析:(1)只要证明Rt△ADC∽Rt△BEC(2)只要证明Rt△AHE∽Rt△BHDP19习题1.37.△ABC是钝角三角形,AD,BE,CF分别是三条高.求证:AD·BC=BE·ACABCDEF△ACD∽△BCE.2.相似三角形的性质（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。ABDCA´B´C´D´2.相似三角形的性质（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；ABDCA´B´C´D´∽∽CBA¢¢

4、¢DDABC:证明2.相似三角形的性质ABDCA´B´C´D´∽CBA¢¢¢DDABC:证明（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。ABDCA´B´C´D´例6.如图,锐角三角形ABC是一块钢板的余料,边BC=24cm,BC边上的高AD=12cm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.求这个正方形零件的边长.ABCMDQPNE解:设正方形PQMN为加工成的正方形零件.边QM在BC上,顶点P,N分别在AB,AC上.△ABC的高与边PN相交于点E.设正方形的边长为xcm.x∽P20习

5、题1.310.如图,平行四边形ABCD中,AE︰EB=1︰2求:△AEF与△CDF的周长比;如果△AEF的面积等于6cm²,求△CDF的面积.ADEBCF求△ADF的面积.相似三角形中的高，中线，内角平分线，周长，面积等要素都与相似比有关.思考：那么，与三角形有关但不在三角形内的其他元素是否与三角形的相似比有联系呢？你想到哪些元素？三角形的外接圆和内接圆问题1两个相似三角形的外接圆的直径比，周长比，面积比与相似比有什么关系？探究：ABDCOA´B´D´C´O´∵∠C=∠C′而∠D=∠C∠D′=∠C′∴∠D=∠D′,∽∴Rt△ABDRt△A′B′D′结论：两个

6、相似三角形的外接圆的直径比，周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。问题2两个相似三角形的内切圆的直径比，周长比，面积比与相似比有什么关系？结论：两个相似三角形的内切圆的直径比，周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。Rr习题1.35.如图,线段EF平行于四边形ABCD的一边AD,BE与CF交于一点G,AE与DF交于一点H.求证:GH//AB.ABCDEFGH预备定理定义引理习题1.36.已知:DE//AB,EF//BC.求证:△DEF∽△ABC.ABCEDFO三边对应成比例