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1、第6章抽样分布从本章起,我们转入课程的第二部分—数理统计学.概率论和数理统计都是研究随机现象统计规律性的学科,但是它们在研究问题的方法上又有其自身的特点.在概率论中,所研究的随机变量,它的分布通常是已知的或者是假设为已知的,在这一前提下,我们去研究它的性质,特点和规律性.例如求出它的数字特征,讨论随机变量函数的分布等.在数理统计中,所研究的随机变量,它的分布是未知的,或者是分布已知,但当中的参数未知.我们是通过对所研究的随机变量进行重复独立的观察,得到许多观察值,对这些数据进行分析,从而对所研究的随机变量的分布做出种种的推断.数理统计的内容十分丰富,大体上可分为收集数据和统计推断两个方面:(1
2、)收集数据研究如何对随机现象进行观察或试验,以便获得能够很好地反映整体情况的局部数据.其内容包括抽样技术、试验设计等.(2)统计推断研究如何对收集到的局部数据进行整理、分析,并对所考察的对象的整体特性做出尽可能准确可信的推测和判断.其内容包括参数估计、假设检验、方差分析和回归分析等.统计推断是数理统计的主体.数理统计具有“部分推断整体”的特征.一、总体在统计学中,我们将问题所涉及的研究对象的全体称为总体(或母体),而把组成总体的每个研究对象称为个体.例如,在研究某批灯泡的平均使用寿命时,该批灯泡的全体就组成了总体,而其中每只灯泡就是个体.…研究某批灯泡的质量总体个体§6.1总体与样本但是在统计
3、学里,我们关心的不是个体的种种具体特征,而仅仅是它的某一项(或某几项)数量指标X以及X的分布情况.例如上述例子中研究的是灯泡的寿命.此时,总体X是全体灯泡的使用寿命,个体是每个灯泡的使用寿命.这样,若抛开实际背景,总体X就是一些数.由于个体的抽取是随机的,所以总体X中有大有小,有的出现的机会多,有的出现的机会少,因此用一个概率分布去描述和归纳总体是恰当的.从这个意义上看,总体就是一个分布,而其数量指标就是服从这个分布的随机变量.因此在理论上可以把总体与随机变量的概率分布等同起来.某批灯泡的寿命例如:研究某批灯泡的寿命时,关心的数量指标就是寿命,那么,此总体就可以用随机变量X表示,或用其分布函数
4、F(x)表示.寿命X可用一概率(指数)分布来刻划.统计中,总体这个概念的要旨是:总体就是一个概率分布.类似地,在研究某地区中学生的营养状况时,若关心的数量指标是身高和体重,我们用X和Y分别表示身高和体重,那么此总体就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数F(x,y)来表示.二、样本总体分布一般是未知,或只知道是包含未知参数的分布.为推断总体分布及各种特征,一般情况下,对总体的每一个个体都进行观察或试验是不可能的,这是因为经济上、时间上不允许(如个体的数量很大),或观察试验是带破坏性的(如灯泡的寿命、炮弹的射程).因此,必须对总体进行抽样观察.按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验,以获
5、得有关总体的信息,这一抽取过程称为“抽样”，所抽取的部分个体称为样本.样本中所包含的个体数目称为样本容量n.2.独立性:X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.由于抽样的目的是为了对总体的分布进行统计推断,为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息,必须考虑抽样方法.最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”,它要求抽取的样本满足下面两点:1.代表性:样本具有随机性,即要求总体中每一个体都有同等机会被选入样本,因此X1,X2,…,Xn中的每一个与所考察的总体有相同的分布.由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本.今后如不加声明,均指简单随机样本.简单随机样本可以用与总体同分布的n个相互独立的随机变
6、量X1,X2,…,Xn表示.=F(x1)F(x2)…F(xn)若总体的概率密度函数为f(x)、分布函数为F(x),则其简单随机样本的联合概率密度函数为=f(x1)f(x2)…f(xn)其简单随机样本的联合分布函数为统计是从手中已有的资料—样本值，去推断总体的情况—总体分布F(x)的性质.总体（理论分布）？样本样本值总体、样本、样本值的关系§6.2统计量与抽样分布一、统计量样本是总体的代表和反映,但我们在抽取样本后,并不直接利用样本进行推断,而需要对样本进行一番“加工”和“提炼”,把样本中所包含的关于我们所关心的事物的信息集中起来,这便是针对不同的问题构造样本的某个函数,称之为统计量.样本均值样
7、本方差推导:下面列出一些常用的统计量样本k阶原点矩样本k阶中心矩k=1,2,…k=1,2,…比较:顺序统计量最小顺序统计量:最大顺序统计量:以上定义的各个统计量的观察值分别为:证所以n次随机取值的平均值的期望不变而但偏差比任一次取值的偏差缩小了n倍这是取多次测量均值的理论依据.作为样本的函数,统计量是随机变量,因此它有自己的分布.称统计量的分布为抽样分布.二、统计三大分布分布1、定义记为分布是由正
