高中数学基本不等式证明

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1、不等式证明基本方法例1：求证：分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。证明：评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选用。例2：设，求证：分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。证明：===，则∴故原不等式成立评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式：，这样容易发现规律。例3：已知求证：证明：ⅰ）当时，，则ⅱ）当时，，则7ⅲ）当时，，则评注：两边相减能消去一部分、两边

2、相除能约去一部分，作差后能因式分解，作商后能进一步简化变形等，是运用比较法的外部特征。当作差或商后的式子中含有字母时，有时需对字母进行分类讨论。例4：已知且求证：分析一：作差后可以判定符号，可用作差法。证法一：ⅰ）当时，则ⅱ）当时，则又∵，∴分析二：不等式两边次数不同，也可以先降次，再作差。证法二：∵∴ⅰ）当时，与同为正ⅱ）当时，与同为负∴即评注：有时可将原不等式变形后再作差比较（如平方后作差等），可使变形更方便。分析三：不等式两边均为正数，也可用作商法。证法三：ⅰ）当时，ⅱ）当时，∴评注：1．比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系—

3、—结论2．作差法是通法，运用较广。作商法要注意条件，不等式两边必须为正数。常用于证幂、指数形7式的不等式。例5：设都正数，求证：分析：不等式左边可以两两运用均值不等式，得到不等式右边。证明：∴∴，∴评注：1.利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法2．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法例6:设a,b,c均为正实数，求证：++≥++.分析一：不等式左边两两结合，可以连续使用均值不等式。证法一：∵a,b

4、,c均为正实数，∴（＋）≥≥，当a=b时等号成立；（＋）≥≥，当b=c时等号成立；（＋）≥≥．当a=c时等号成立；三个不等式相加即得++≥++，当且仅当a=b=c时等号成立.分析二：从一些常用不等式出发，可以减少思维回路，降低解题难度，提高效率。证法二：∵∴同理：∴∴++≥++评注：运用综合法证明不等式，必须发现式子的结构特征，结合重要不等式和常用不等式，找到解题的方法。例7:已知a,b,c∈R+，且a+b+c=1.求证：（1+a）（1+b）（1+c）≥8（1－a）（1－b）（1－c）.分析：在条件“a+b+c=1”的作用下，将不等式的“真面目”隐含了

5、，给证明不等式带来困难，若将“a+b+c”换成“1”，则还原出原不等式的“真面目”，从而抓住实质，解决问题.证明：∵a,b,c∈R+且a+b+c=1，∴要证原不等式成立，7即证［（a+b+c）+a］·［（a+b+c）+b］［（a+b+c）+c］≥8［（a+b+c）－a］·［（a+b+c）－b］·［（a+b+c）－c］.也就是证［（a+b）+（c+a）］［（a+b）+（b+c）］·［（c+a）+（b+c）］≥8（b+c）（c+a）（a+b）①∵（a+b）+（b+c）≥2＞0，（b+c）+（c+a）≥2＞0，（c+a）+（a+b）≥2＞0，三式相乘得①式成

6、立.故原不等式得证.评注：1.证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法分析法的思维特点是：执果索因2.分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题为真，从而有……这只需要证明命题为真，从而又有……这只需要证明命题A为真,而已知A为真，故命题B必为真例8:设，求证：分析：不等式的形式较复杂，可以从原不等式出发，进行化简变形。证法一：要证原不等式成立，只需证：∵只需证只需证，只需证∵上式成立∴原不

7、等式在时成立.证法二：∵∴∴∴∴即评注：分析法与综合法本质上是一致的，形式上是互逆的，我们常常用分析法寻找证题思路，用综合法书7写证明过程。配套小练习：证明下列不等式1己知都是正数，且成等比数列，求证：2．已知a,b,x,y∈R+且＞，x＞y.求证：＞3.已知均为正数，且，求证：.4．设a,b,cÎR，求证：5.已知是正实数，求证：6.已知为不相等的正数，且，求证：7.若a,b>0,2c>a+b,求证:(1)c2>ab（2）c-

8、b∈R+，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，∴bx＞ay.∴＞0，即＞.证法二：（分析法）7∵x,y