《集合论习题解析》PPT课件

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1、集合论习题解析——经典习题与考研习题经典习题一、集合基础二、二元关系三、函数四、概念综合练习考研习题北京大学、中科院计算所、中科院软件所、中科院自动化所、北京师范大学、中科院成都计算所、上海交通大学、西安交通大学、西南交通大学、北京航空航天大学、复旦大学等一、集合基础1.1与1.2集合运算1.3幂集1.1与1设A,B,C是任意3个集合，如果AB,BC,则AC可能吗？AC常真吗？举例说明。AC可能A={1},B={{1}},C={{1},{{1}}}AC不常真A={1},B={{1}},C={{{1}}}2设A,B是任意2个集合，AB与AB同时成立，这可能吗？可能A={1

2、},B={{1},1}.3设A,B,C是集合，判断下列命题真假，如果为真，给出证明；如果为假，给出反例：1)AB,BCAC;2)AB,BCAC;3)AB,BCAC;4)AB,BCAC;5)aA,ABaB.1）假A={1},B={2},C={{2}}2）假A={1},B={2},C={{1}}3）假A={1},B={{1}},C={{1},1}4）假A={1},B={{1},1}，C={{1},2}5）真子集定义4设A,B,C是U的子集，判断下列命题真假，如果为真，给出证明；如果为假，给出反例：1)ABAB=B;2)ABAB=A;3)ABA

3、B=A;4)ABAB=B;5)ABA(B-A)=B;6)BA(A-B)B=A;1）假，A=B时不成立/*与不同*/分析：I)ABAB=B：因为BAB；对于任意xAB，如果xA,因为AB,所以xB,则对任意的xAB，xB成立。所以AB=B。II)A=BAB=B，但AB不成立。2）假，A={1}，B={1，2}，不成立；3）假，A=B时不成立；4）假，A={1}，B={1，2}，不成立；5）假，A=B时不成立6）假，A={1，2}，B={1}，不成立；1.2集合运算5设A,B,C是任意3个集合，（1）AB=AC，则B=C吗？（2）AB=

4、AC，则B=C吗？（3）AB=AC且AB=AC，则B=C吗？（1）假A={1,2},B={1},C={2}（2）假A={1},B={1,2},C={1,3}（3）真/*基本法、反证法证明*/设xB，假设xC。因为xB，所以xAB；因为AB=AC，所以xAC；因为xC，所以xA；又因为xB，所以xAB；因为AB=AC，所以xAC；则xC，这与xC矛盾。所以B=C。6设A,B是任意2个集合，（1）若A-B=B，则A与B有何关系？（2）若A-B=B-A，则A与B有何关系？（3）若AB=AB，则A与B有何关系？（4）若AB=A，则A与B有何关系？

5、/*用文氏图辅助*/证明：(1)由A-B=B，可得出A=B=。(2)由A-B=B-A，可导出A=B。(3)A=B(4)B=7给出下列命题成立的充分必要条件（1）(A-B)(A-C)=A（2）(A-B)(A-C)=（3）(A-B)(A-C)=（4）(A-B)(A-C)=/*等式推导*/解：(1)1)：设(A-B)(A-C)=A，对任意的x，xA，则xA-B或xA-C；则有2）：设ABC=，对任意的x，xA，则xB或xC，则有对任意的x，x(A-B)(A-C)，则xA-B或xA-C，则有（2）(A-B)(A-C)=(A-B)=或(A-C)=

6、AB并且ACABC所以，充要条件为ABC。（3）1)设(A-B)(A-C)=，对任意的x，xA，x(A-B)并且x(A-C)；所以xB-A或xC-A；则有xB或xC；得xBC。所以ABC。2)ABCAB或AC；所以A-B=或A-C=。得(A-B)(A-C)=。从而，(A-B)(A-C)=ABC。（4）(A-B)(A-C)=((A-B)-(A-C))((A-C)-(A-B))=(A-B)(A-C)并且(A-C)(A-B)(A-B)=(A-C)1.3幂集7设A,B是任意2个集合，证明：（1）ABP(A)P(B

7、)（2）P(A)P(B)AB（3）P(A)=P(B)A=B/*利用基本法证明集合的包含关系*/证明：(1)对任意的xP(A),有xA,又因为AB，所以xB,即xP(B)；所以P(A)P(B)。(2)/*证明方法同(1)；*/对任意的xA,则{x}P(A)，又因为P(A)P(B)，所以{x}P(B)，即xB；所以AB。(3)由(1)和(2)的证明导出。二、二元关系1设