集合论习题课答案.ppt

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1、集合论习题课1.判断下面命题的真值(真的话证明，假的话举反例)a)如果A∈B，BC，则A∈CTb)如果A∈B，BC，则ACF举反例A={1}B={{1}}C={{1},2}c)如果AB，B∈C，则A∈CF举反例A={1}B={1,2}C={{1,2}}d)如果AB，B∈C，则ACF举反例A={1}B={1,2}C={{1,2}}2.集合计算a)Φ∩{Φ}=Φb){Φ}∩{Φ}={Φ}c){Φ,{Φ}}–Φ={Φ,{Φ}}d){Φ,{Φ}}-{Φ}={{Φ}}e){Φ,{Φ}}-{{Φ}}={Φ}3.在什么条件下，下面命题

2、为真？a)(A-B)∪(A-C)=A(A-B)∪(A-C)=(A∩~B)∪(A∩~C)=A∩(~B∪~C)=A∩~(B∩C)=A-(B∩C)=A所以满足此式的充要条件是：A∩B∩C=Φb)(A-B)∪(A-C)=Φ(A-B)∪(A-C)=A-(B∩C)=Φ所以满足此式的充要条件是：AB∩Cc)(A-B)∩(A-C)=Φ(A-B)∩(A-C)=(A∩~B)∩(A∩~C)=A∩(~B∩~C)=A∩~(B∪C)=A-(B∪C)=Φ所以满足此式的充要条件是:AB∪Cd)(A-B)(A-C)=Φ因为当且仅当A=B，才有AB=Φ所以满足

3、此式的充要条件是:A-B=A-C4.集合的基数A,B是有限集合,已知

4、A

5、=3,

6、ρ(B)

7、=64,

8、ρ(A∪B)

9、=256,则

10、B

11、=(),

12、A∩B

13、=(),

14、A-B

15、=(),

16、AB

17、=()解：由

18、ρ(B)

19、=64=26，得

20、B

21、=6由

22、ρ(A∪B)

23、=256＝28，得

24、A∪B

25、=8由容斥原理得

26、A∪B

27、=

28、A

29、+

30、B

31、-

32、A∩B

33、

34、A∩B

35、=

36、A

37、+

38、B

39、-

40、A∪B

41、=3+6-8=1，所以

42、A∩B

43、＝1

44、A-B

45、=

46、A

47、－

48、A∩B

49、=3-1=2

50、AB

51、=

52、A∪B

53、－

54、A∩B

55、=8-1=75.集合的证明a)证明(A∩B)∪C=

56、A∩(B∪C)iffCA证明；充分性已知CA(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)=A∩(B∪C)(∵CA∴A∪C=A)必要性已知(A∩B)∪C=A∩(B∪C)x∈C，x∈Cx∈(A∩B)∪Cx∈A∩(B∪C)x∈A所以CAb)证明(A-B)-C=(A-C)-Bx：x∈(A-B)-Cx∈(A-B)∧xC(x∈A∧xB)∧xC(x∈A∧xC)∧xBx∈(A-C)∧xBx∈(A-C)-B所以(A-B)-C=(A-C)-Bc)证明以下各式彼此等价：A∪B=U,~AB,~BAA∪B=Ux(x∈

57、A∪Bx∈U)x(x∈A∪B)(x∈U为T)x(x∈A∨x∈B)x(xAx∈B)x(x∈~Ax∈B)~AB同理A∪B=U...x(x∈A∨x∈B)x(xBx∈A)x(x∈~Bx∈A)~BA所以A∪B=U~AB~BA.6.幂集设A,B是集合，证明以下命题成立a)ρ(A∩B)=ρ(A)∩ρ(B)S：Sρ(A∩B)SA∩BSA∧SBSρ(A)∧Sρ(B)Sρ(A)∩ρ(B)b)ρ(A)∪ρ(B)ρ(A∪B)S：Sρ(A)∪ρ(B)Sρ(A)∨S

58、ρ(B)SA∨SBSA∪BSρ(A∪B)c)ABiffρ(A)ρ(B)证明：必要性：若AB证明ρ(A)ρ(B)S：Sρ(A)即SA∵AB∴SB即Sρ(B)∴ρ(A)ρ(B)充分性：若ρ(A)ρ(B)证明ABx：xA必S，SA，使得xS∵ρ(A)ρ(B)∴由SA即Sρ(A)可得到Sρ(B)也就是说SB∴xB∴AB综上所述：ABiffρ(A)ρ(B)7.笛卡尔积A={0,1}B={1,2}求A2×BA2×B={<0,0>,<0,1>,<1,0>,<1,1>}×B={<<

59、0,0>,1>,<<0,0>,2>,<<0,1>,1>,<<0,1>,2>,<<1,0>,1>,<<1,0>,2>,<<1,1>,1>,<<1,1>,2>}注意：A2×B=(A×A)×B≠A×A×B