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1、微积分IA总复习函数与极限一、主要内容函数的定义反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性双曲函数与反双曲函数函数的分类函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限函数极限等价无穷小及其性质唯一性无穷小两者的关系无穷大1、极限的定义左极限右极限无穷小:极限为零的变量称为无穷小.绝对值无限
2、增大的变量称为无穷大.无穷大:在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系2、无穷小与无穷大定理1在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质定理推论1推论23、极限的性质4、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分
3、段函数极限.5、判定极限存在的准则(夹逼准则)(1)(2)6、两个重要极限定义:7、无穷小的比较定理(等价无穷小替换定理)8、等价无穷小的性质9、极限的唯一性左右连续在区间[a,b]上连续连续函数的性质初等函数的连续性间断点定义连续定义连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类1、连续的定义定理3、连续的充要条件2、单侧连续4、间断点的定义(1)跳跃间断点(2)可去间断点5、间断点的分类跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点:可去型第一类间断点跳跃型0yx0yx0yx无穷型振荡型第
4、二类间断点0yx第二类间断点6、闭区间的连续性7、连续性的运算性质定理定理1严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.定理28、初等函数的连续性定理3定理4基本初等函数在定义域内是连续的.定理5一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.9、闭区间上连续函数的性质定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.导数与微分求导法则基本公式导数微分关系高阶导数高阶微分导数的定义
5、求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则(3)复合函数的求导法则(4)对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:(5)隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导.(6)参变量函数的求导法则高阶导数记作二阶导数的导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)微分的定义定义(微分的实质)导数与微分的关系定理微分的求法求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.函数和、差、积、商的微分法则微分的基本法则微分形式的不变性中值定理与导数的应用洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定
6、理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;曲率;求根方法.导数的应用罗尔中值定理拉格朗日中值定理有限增量公式.柯西中值定理推论泰勒中值定理洛必达法则定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.注意：洛必达法则的使用条件.导数的应用定理(1)函数单调性的判定法定义(2)函数的极值及其求法定理(必要条件)定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.极值是函数的局部性概念:极大值
7、可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.定理(第一充分条件)定理(第二充分条件)求极值的步骤:步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)(3)最大值、最小值问题实际问题求最值应注意:1)建立目标函数;2)求最值;(4)曲线的凹凸与拐点定义定理1方法1:方法2:利用函数特性描绘函数图形.第一步第二步(5)函数图形的描绘第三步第四步确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势;第
8、五步(6)弧微分曲率曲率圆曲率的计算公式定义不定积分积分法原函数选择u有效方法基本积分表第一换元法第二换元法直接积分法分部
