中南大学微积分上复习课4-11习题

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1、中值定理与导数应用习题课洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;曲率;求根方法.导数的应用一、主要内容1、罗尔中值定理2、拉格朗日中值定理有限增量公式.3、柯西中值定理推论4、洛必达法则定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.注意：洛必达法则的使用条件.5、泰勒中值定理常用函数的麦克劳林公式6、导数的应用定理(1)函数单调性的判定法定义(2)函数的极值及其求法定理(必要条

2、件)定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.定理(第一充分条件)定理(第二充分条件)求极值的步骤:步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)(3)最大值、最小值问题实际问题求最值应注意:1)建立目标函数;2)求最值;(4)曲线的凹凸与拐点定义定理1方法1:方法2:利用函数特性描绘函数图形.第一步第二步(5)函数

3、图形的描绘第三步第四步确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势;第五步(6)弧微分曲率曲率圆曲率的计算公式定义例1解二、典型例题这就验证了命题的正确性.例2解例3证由介值定理,注意到由,有+,得例4证例5证–,则有例6解若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数,于是有解此方程组得故所求作抛物线的方程为曲率圆的方程为两曲线在点处的曲率圆的圆心为例7解奇函数列表如下:极大值拐点极小值作图测验题测验题答案