Ch.3实变函数、泛函分析和拓扑学基础以及分形空间

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1、Chapter3实变函数、泛函分析和拓扑学基础以及分形空间3.1实变函数、泛函分析和拓扑学基础在分形几何里，我们关注的是多种多样简单几何空间子集的结构，记这种空间为，我们研究和讨论的分形就在这。Definition3.1空间是一个集合，空间中的点是该集合的元素。例3.1，每个“点”是实数或直线轴上的点。例3.2，Euclid平面，一对实数，确定了中的一个点，常被写成。例3.3，取自变量在闭区间到的连续函数集，一个“点”就是函数，也能由图像表示。例3.4，Riemann球，，其中为复平面，的元素为复数。例3.5叫作空间和空间的Cartesian（笛卡儿

2、）积，若，则，其中，，比如。Def.3.2一个度量空间就是空间伴随实函数，令，，函数就是衡量和的距离，必须满足如下公理：（1），，；（2），，，；（3），；（4），，，。这样的函数称为度量。简言之，集中定义了某个度量（距离），则称为度量（距离）空间。如果集中给定了某个拓扑结构（topologicalstructure），则称为拓扑空间（topologicalspace）。前者为后者的特殊情况。所以说，度量空间是一种拓扑空间，其上的拓扑由指定的一个距离决定。典型的度量有（1）（Euclid度量，或用Euclid-ean），，；（2）（Euclid度量）

3、，，；（3）（Manhattan度量），，；（取名Manhattan可能与纽约市曼哈顿区整齐纵横的街道有关）。（4）若，，则为Euclid度量。分形几何关注于描述、分类、解析和观察度量空间的子集。度量空间通常具有“简单”的几何特征，但其子集在几何上却是错综复杂的。Def.3.6度量空间中的一个点系列称为是Cauchy（柯西）系列（又称基本列），如果对任意给定的，存在一个正整数使得Def.3.7度量空间中的点系列称为收敛于，如果对任意给定的，存在一个正整数，使得记为Theorem3.1如果度量空间中的一个点系列收敛于，则是Cauchy序列。Def.3.

4、8如果中每个Cauchy序列都有极限，则度量空间称为是完备的，记表示中心在，半径为的开球，则对于收敛序列而言，当大于某个后，该球将包含所有的点（）。例3.6下面的度量空间都是完备的：（1）（，Euclidean）;（2）（，Euclidean）;（3）（，Spherical）;（4）（，），定义为Theorem3.2设和是两个等价度量空间，若是完备的，则也是完备的。Def.3.9设是度量空间的子集，点称为的极限点，如果存在点集的一个序列使得。Def.3.10设是度量空间的子集，的闭包定义为，如果包含它所有的极限点，则是闭的，即。如果还等于它所有极限点

5、的集合，则是完备集。三分Cantor集就是完备集。两个集并的闭包等于它们的闭包之并：（此结论不能推广到无穷多个集之并）Def.3.11设是度量空间的子集，如果中的每个无穷序列都有一个极限在中的子序列，则称为紧的。Def.3.12设是度量空间的子集，如果存在一个点和数，使包含在开球内，则称是有界集。收敛点集是有界的。Def.3.13（网）设是度量空间的子集，如果对每一个，都存在一个有限点集，使得每当总有某个致，称为的一个网。显然。Definition3.14（全有界）集合称为是全有界的，如果，都存在一个有穷网。Theorem3.3设是完备度量空间，，则

6、是紧的当且仅当它是闭的和全有界的。Definition3.15设是度量空间的子集，如果对每个都存在使得，称空集。规定空集也是开集。一个事实是，如果是度量空间，则“”是开的与“”是闭的是同一个意思。Definition3.16设是的子集，点是的边界点，如果对每一个，都包含有和的点，所有边界点的集合称为的边界并记之为。Definition3.17设是度量空间的子集，如果存在，使得对某个有，则点称为内点。所有内点的集合称为的内部。显然，定义3.15中的开集的每一个点都是的内点。Definition3.18集合中的元素如果能与全体自然数一一对应，则是可数集。

7、3.2分形空间Definition3.19设为完备空间，则记为由的全体非空紧子集组成的空间，显然，的元素是的非空紧子集，即的非空紧子集是的一个单点。分形几何的研究对象是分形集合，所以必须引入点与集合，集合与集合的度量关系。Definition3.20设为完备度量空间，，集合，定义称为点到集合的距离。考虑为某一个城市，为另一个省或另一个国家，则就确定了该城市与那个省或那个国家的距离。Definition3.21设为完备度量空间，集合，，定义称为集合与集合的距离。若是城市所在地国家，则表示了国家与国家的距离。Definition3.22对于度量空间的映射

8、，如果有，使得，则称为映射的不动点。例3.7如果是空间（，Euclidean），，是中心在半径为的闭圆盘，求