任意正实数开平方的几种算法

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1、任意正实数开平方的几种算法马丽君（集宁师范学院数学系，内蒙古乌兰擦布市012000）摘要：给出正实数开平方的四种不同算法。关键词：查表法；笔算开平方法；迭代法；无穷级数法。任意正实数开平方我们在初中已经学习过。方法是查表法。本文介绍了包括查表法在内的四种不同开平方的算法，供大家参考。方法一：。方法二：笔算开平方法。将被开方数从小数点起向左、向右每隔两位划为一段，用“’”分开；求不大于且最接近左边第一段数的完全平方数，此平方数的平方根为“初商”；从左边第一段数里减去求得初商的平方数，在它们的差的右边写上第二段数作为第一个余数；把初商乘以20，试除第一个余数，所得的最大整数

2、作试商(如果这个最大整数大于或等于10，就用9或8作试商)；用初商乘以20加上试商再乘以试商。如果所得的积小于或等于余数，就把这个试商写在商后面，作为新商；如果所得的积大于余数，就把试商逐次减小再试，直到积小于或等于余数为止；以此类推，直至满足要求的精度；平方根小数点位置应与被开平方数的小数点位置对齐。例1求316.4841的平方根。第一步，先将被开方的数，从小数点位置向左、向右每隔两位用逗号分段，如把数316.4841分段成3,16.48,41。第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一段数字，而初商加1的平方则大于第一段数字，本例中第一段数字为3，初商为1

3、，因为，而。第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字，组成第一余数，在本例中第一余数为216。第四步，找出试商，使(20×初商+试商)×试商不超过第一余数，而则大于第一余数。第五步，把第一余数减去(20×初商+试商)×试商，并移下第三段数字，组成第二余数，本例中试商为7，第二余数为2748。依此法继续做下去，直到移完所有的段数，若最后余数为零，则开方运算告结束。若余数永远不为零，则只能取某一精度的近似值。第六步，定小数点位置，平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐。本例的算式如下：方法三：牛顿迭代开平方法。牛顿迭代法是通过非线性方程线性化，用线性方程的

4、解逐步逼近非线性方程的解。下面简单推导一下牛顿迭代公式：如图所示，曲线与轴的交点就是方程的根。设是方程的一个近似根，过曲线上的点作切线，切线与轴的交点为，切线的方程为点满足该切线方程，即——————用此线性方程代替非线性方程，若，则的解为。按此迭代公式求方程的近似根的方法称为牛顿迭代法，公式称为牛顿迭代公式。下面就用此牛顿迭代公式计算任意正实数开平方。例2计算的近似值。解：令，则。即求等价于求方程的正实根。因为，根据牛顿迭代公式得取初值，（因为，所以初值取）得所以方法四：级数开平方法。利用幂级数可以计算任意正实数开平方，应用到的公式是二项式展开式：。例3计算的近似值，要

5、求误差不超过0.0001解：利用二项式展开式计算。因为，所以此级数从第二项开始为交错级数，它满足交错级数判别法的两个条件。如取前四项作近似值，则其余项估计式有于是得到。