概率论解题中的化归思想

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1、第30卷第1期（上）赤峰学院学报（自然科学版）Vol.30No.12014年1月JournalofChifengUniversity（NaturalScienceEdition）Jan.2014概率论解题中的化归思想马小霞（淮南师范学院数学与计算科学系，安徽淮南232038）摘要：“化归”是指将一些未知的问题化成已有结果的问题来进行计算的一种方法，本文主要通过一些例题说明化归方法在概率论解题过程中所起到的简化计算、提高效率的作用.关键词：化归思想；概率分布列；概率密度；正态分布中图分类号：O211文献标识码：A文章编号：1673-260X（2014）01-

2、0003-01DOI:10.13398/j.cnki.issn1673-260x.2014.01.003“化归思想”是指将需要求解的未知问题转换成已知结中被广泛应用.+∞2果的问题形式，从而轻松求解的思想方法，在数学各方面的-x4解题中被广泛应用.下面主要通过一些实例说明化归思想方例3求乙edx0法在概率论的解题过程中所能达到的效果.2+∞-x1利用事件A的概率化归12解由于乙edx=1，故上式可通过此式化归-∞姨2π在许多的概率问题中，从正面求事件的概率可能很麻2x烦，或者甚至不能求，此时可想到先求事件的逆事件概率，+∞2姨姨-x+∞-姨2412再利用其

3、与事件概率和为1的性质来求解.乙edx=乙edx·姨2π0姨2π例1设有某操作电子游戏记者，在每次射击中命中率0t=x2t为0.004，求n次独立射击过程中击中目标的概率？姨2+∞-12=乙edt·姨2π·姨2分析:由于此处所求事件“击中目标”实为事件“至少击0姨2π中目标一次”，因此从正面完成太麻烦，于是想到可以从其1=·2姨π=姨π事件逆入手求解.2解令事件A=“击中目标”，Ai=“第i次射击中击中目因此，以后凡碰到与某个概率分布列或概率密度相差标”常数倍的题型，都可以以相应分布列或概率密度进行化归.nn3连续性随机变量解题中最具有代表性的化归可以说是

4、则P(A)=P(YAi)=1-P(YAi)i=1i=1一般形式的正态分布与标准正态分布概率之间的转换了，n=1-P(IA)=1-P(A)·P(A)…P(A)=1-0.996n利用的依据是下面的定理.i12ni=12X-μ2利用随机变量的性质化归定理若随机变量X~N(μ,σ)，则有σ~N(0,1).由于随机变量有一些固定的性质，如果在解题过程中例4若随机变量X1~N(1,4)，X2~N(-1,5)，记p1=P(

5、X1

6、≤能够通过简单的变形化出相应的形式，那么就可以利用这1)，p2=P(

7、X2

8、≤1)，比较p1与p2的大小？些性质轻松解题.1-1-1-11解p

9、1=P(

10、X1

11、≤1)=Φ()-Φ()=Φ(1)-例2随机变量X∽b(n,p)，求X的期望E(X).222解二项分布b(n,p)的概率分布列p2=P(

12、X2

13、≤1)=Φ(1+1)-Φ(-1+1)=Φ(2)-1k姨5姨5姨52P(X=k)=Cpk(1-p)n-k，k=0,1,2,…,nn2nn由于<1，利用分布函数的单调不减性，可知p2

14、(1-p)n-k-1=npCn-1k=0这需要学习过程中的不断总结和积累.注：此解题过程中主要应用了离散型随机变量概率分————————————nn!k参考文献：布列的和为1的性质，将上式中的Σp(1-p)k=1(k-1)!(n-k)!〔1〕盛骤，等.概率论与数理统计（第四版）[M].北京：高等教n-1育出版社，2009.kn-k提出常数倍np后，转换成Σpk(1-p)n-k-1，而该式是Cn-1〔2〕茆诗松,等.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出k=0二项分布b(n-1,p)的概率分布列的各项和，即知值为1，从而版社，2004.求出最终结果.这

15、个方法在离散型随机变量的期望求解过程-3-