排列组合问题中的化归思想

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1、排列组合问题中的化归思想排列组合问题中的化归思想摘要：文章简要归纳了几类较典型的排列组合问题，并通过一些例题示范解决问题的方法并谈谈化归思想的应用。关键词：排列组合；盒子选球；选鞋子；扑克牌；化归思想排列组合是高中数学的重点内容有着非常广泛的应用，是学习概率的基础，其解题方法抽象性强，不易掌握，解题易犯“重复”或“遗漏”的错误，且计算结果不大好检验．问题又多以实际问题为背景，多、杂，审题理解题意学生（特别是文科学生）感到很困难。因此下面将对几种典型的排列、组合问题进行策略分析大家共同寻找解决排列、组合问题的实战方法．一

2、、盒子选球问题（一）不同的盒子装不同的球：先选盒子再选球，个数相同的盒子一起选，个数不相同的单独选例15个不同的小球，分到4个不同的小盒中，每盒至少一个，有几种不同的分法?分析错解一：5个小球分到4个盒中一个盒子一个球有种，余下一个再任意放到一个盒子里有种，故答案有=480错解二：一个盒子装两球有，余下三个盒子各装一球，有，故答案有=1440（__表示选盒子，以下过程中就不再说明了）上述两种方法都有重复的错误，一般的学生检查不出来2111正确解法：5个不同的小球，分到4个不同的小盒中，每盒至少一个装法如下⑴先选装2个球

3、的盒子有种（因为这个盒子与其它盒子内的球个数不同所以要单独选），再选2球装进去有种⑵再选余下装一球的盒子有种（因为这个盒子与其它盒子内的球个数相同所以要一起选），再分别选一球有（注意因为盒子没有讲顺序所以球都要一个一个的选这样可避免重复遗漏）故答案是=240练习：四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒子的放法共有多少种?2110分析：装法如下⑴先选装2个球的盒子有种，再选2球装进去有种⑵再选余下装一球的盒子有种，再分别选一球有故答案是=144化归:例2、6名同学分到3个班，每班至少1人,有多

4、少种不同的分法?解析:本题中6名同学和3个班都是不同的元素，可看作6个不同的小球装入3个不同的盒子，每个盒子至少装一个小球：解：分三类：411第一类：有=90种321第二类：有=360种222第三类：有=90种所以6名同学分到3个班，每班至少1人，共有种不同的分法．N=90+360+90=540例3、若集合,从集合A到集合B可以建立多少个每一个象都有原象的不同的映射?分析:在这个问题中，由映射的概念可知从集合A到集合B的映射是指对于A中的每一个元素，都有B中唯一的确定的元素和它对应.因此,从集合A到集合B的映射可以理解

5、为把集合A中的5个不同的球任意装入集合B中的3个不同盒子中，每一个盒子中至少有一个球，分二类：311第一类：有=60种221第二类：有=90种根据分类计数原理，共有N=60+90=150（二）不同的盒子装相同的球：采用隔板法．例4、9个相同的小球放到6个不同盒子里，每个盒子至少一个球，有多少种不同的放法?解析法1：先在盒子里各放一个球，再把剩下的3个球放到6个盒子里，分三类：①3个球放到1个盒子里，有种放法；②3个球放到2个盒子里，球数分别为2+1，共种放法；③3个球放到3个盒子里，每个盒子各1个球，共种放法．根据分类

6、计数原理，共有++=56种放法。法2：把6个盒子看作由平行的7个隔板组成的．每一个满足要求的放法都相当于9个小球和7个隔板的一个排列，其中两个隔板在两头，任何两个隔板之间至少有一个球(即任何两个隔板不相邻)，把两头的两个隔板拿掉，每一个满足要求的放法还相当于在排成一列的9个小球间的8个空档中插入5个隔板，不同的放球方法即插隔板的方法，共有=56种．反思与总结：上述解法1容易理解，但分类较繁，此法不便于推广，上述解法2就叫隔板法，它应用了对应的方法，转化为插空问题，计算比较简单，但不易理解，等理解透彻后，就会发现隔板法是

7、非常好用的，具有普适性的方法．应用此法的前提是小球完全相同法3：先将6个盒子每个盒子装一个小球，余下3个球任意的装在6个不同的盒子里，可理解为6个盒子分为6份需要用5块隔板分开允许盒子里不装球：○○○︱︱︱︱︱8个位子3个放球5个放隔板有=56种放法化归：例5、从5个班中选10个人组成校篮球队，每班至少1人，有多少种选法?解析：这里只是人数而已，与顺序无关，故可把10个人看成l0个相同的小球放人5个不同的盒内，每盒至少1球，法1：可先把l0个小球排成一列，再在其中的9个间隙中选4个位置插入4块档板，分成5格有=126种

8、选法．法2：先将5个盒子每个盒子装一个小球，余下5个球任意的装在5个不同的盒子里○○○○○︱︱︱︱9个位子5个放球4个放隔板有=126种放法例6、①9个相同的小球分到编号为1、2、3的三个盒子里，每个盒子分的球数不少于其编号数，有多少种不同的分法?②方程的非负整数解的个数是多少?解析：①此题分类求解，则比较麻烦．题目不满足隔板法的