不确定原理及其它的数学推导

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1、海森堡的不确定原理及其它的数学推导今年12日5日是德国著名物理学家沃纳·海森伯(W.Heisenbery1901--1976)诞辰100周年纪念日；1901年12月5日,海森伯出生于维尔茨堡古希腊语教师的家庭,19岁时成为慕尼里大学著名理论物理学家索末菲(Sommerfeld)的弟子,1924年取得博士学位.1925年率先从修改经典分析力学的途径为创立量子力学矩阵形式作出了开拓性的工作，1927年提出了著名的“不确定原理”；这便成为20世纪物理学发展的一个重要里程碑。同时，他对原子核、铁磁性、宇宙射线、基本粒子等概念的理解作出了重大的

2、改进，并于1932年获得诺贝尔物理学奖金，他被公认为20世纪最具创新能力的思想家之一；本文重在对海森伯在量子力学的矩阵形式和“不确定原理”这两项重要贡献作简单的历史性回顾，以示对这位伟人最真挚的纪念。不确定原理海森伯非常注重量子力学的物理图象和原理，他早就认识到，把经典的电子坐标换成量子的跃迁振幅，相当于要从量子理论来重新解释运动学，亦即要从量子论的图象来重新描述电子的运动．1926年薛定谔（Schrodinger）创立了波动力学，随后又证明了波动力学与量子力学完全等价．实际上，海森伯的量子力学选择了力学量随时间改变而态不随时间改变的

3、物理图象，薛定谔的波动力学则选择了态随时间改变而力学量不随时间改变的物理图象．电子运动的量子特征在海森伯图象中表现得很突出，而电子运动的波动特征在薛定谔图象中表现得十分清楚，电子运动的量子性和波动性已经被纳入了一个自洽和完整的理论体系．紧接着薛定谔的工作，玻恩用薛定谔波动方程研究量子力学的散射过程，提出了波函数的统计诠释，指出薛定谔波函数是一种几率振幅，它的绝对值的平方对应于测量到电子的几率分布．认识到了量子力学规律的统计性质，这就为海森伯提出量子力学的不确定原理在观念上奠定了基础．使海森伯疑惑不解的是：既然在量子力学中不需要电子轨道

4、的概念，那又怎么解释威尔逊（C.Wilson）云室里观察到的粒子径迹呢？经过几个月的思索，1927年初海森伯忽然想起，年前在一次讨论中，当他向爱因斯坦（Einstein）表示“一个完善的理论必须以直接可观测量作依据”时，爱因斯坦说道：“在原则上，试图单靠可观测量去建立理论那是完全错误的．实际上正好相反，是理论决定我们能够观测到什么东西”[7]．在这一回忆的启发下，海森伯仿效爱因斯坦在狭义相对论里对同时性的定义方法，马上领悟到：云室里的径迹不可能精确地表示出经典意义下的电子路径或轨道，它原则上至多给出电子坐标和动量的一种近似的、模糊的描

5、写．在这种想法指导下，他用高斯型波函数来研究量子力学对于经典图象的限制，立即导出了同时测量粒子的坐标和动量所受到的限制：海森伯引用狄拉克—约尔丹变换理论如下．对于位置坐标q的一个高斯型波函数(或海森堡所称的“几率振幅”)由下式给出：[8]（11）其中δq是高斯凸包的半宽度，根据玻恩的几率诠释，它表示一个距离的范围．粒子几乎肯定处于此范围中，因而表示位置的测不准量（δq＝为标准偏差）。按照交换理论，动量分布应为，其中通过傅里叶变换得出：（12）或（13）令积分．海森堡得到4（14）它表明动量的测不准量为（15）因此（16）或（17）这就

6、是海森伯关于位置和动量的“不确定关系”.后来,海森伯还通过对确定原子磁矩的斯特恩—盖拉赫(StemGerlach)实验的分析证明，原子穿过偏转场所费的时间越长，能量测量中的不确定性ΔΕ就越小。若我们要测量某几个定态的能量，那么因为偏转力的位能Ε在原子束的宽度d内的变化不允许大于这些定态的能量差ΔΕ，所以偏转力之最大值为ΔΕ／d；于是动量为p的原子束的角偏转由ΔΕ／pd给出；但是，因为至少必须等于决定原子束宽度d的狭缝所引起的衍射角λ／d，其中按照德布罗意关系λ=h／p，于是海森伯得到结论：（18）或（19）海森伯认为，这个方程“表明，

7、能量的准确测定如何只有靠相应的对时间的不确定量才能得到”。[1]正如他在1929年春天他在芝加哥大学发表了题为“量子论的物理原理”的演讲时指出的：“一般说来，任何一个测定某些物理量的实验，同时也就会改变以前所获得的另一些物理量的知识．即使定量地追溯这种影响，我们仍会发现，在很多情况下，同时测量两个不同物理量总是存在一个不能再提高的精度下限．相对论对经典概念进行批判的出发点，是假设不存在大于光速的信号速度．类似地，我们可以把同时测量两个不同的物理量有一个精度下限，即所谓不确定关系，假设为一条自然定律，并以此作为量子论对经典概念进行批判的

8、出发点．这个‘不确定关系’告诉我们，要对原子过程作出一致描述，必须在多大程度上摆脱经典概念的限制．”[9]海森伯后来很富有哲学意味地对他的不确定原理进行如下阐述：人在认识微观客体时，就如同一个瞎子想知道雪花的形状，于是用