不确定性原理的推导

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1、不确定性原理的推导一、（普遍的）不确定性原理推导：对于任意一个可观测量A，有（见（12）式）：（1）式中：同样地，对于另外一个可观测量B，有：式中：由施瓦茨不等式（见（16）式），有：（2）对于一个复数z（见（17）式）：（3）令，（2）式：（4）又类似有：所以（5）式中对易式：把（5）代入（4），得（普遍的）不确定性原理：（6）二、位置与动量的不确定性设测试函数f(x)，有（见（23）式）：（7）去掉测试函数，则：（8）令，把（8）代入（6）：由于标准差是正值，所以位置与动量的不确定性：（9）三、时间与能量的不确定性由（见

2、（24）式）：（10）可得：所以时间与能量的不确定性：（11）附：1、数学符号及常量：x的平均值：矢量（函数）α和β的点积（内积）：j的不确定程度，即j的标准差：，其中h=6.6260693(11)×10-34J·s为普朗克常量：2、有关公式推导（1）式：（12）（2）式：对于和设，则（13）（14）（15）构造方程：其中t为未知数显然，该方程最多仅有一个对t的解该方程可写为：因为其解只有0或1个，所以：把（12）、（13）、（14）式代入，得：（16）（3）式：设则所以（17）（6）式：薛定谔方程：（18）可以写做：及其共

3、轭式：所以（19）又（20）由（13）、（14）式，有：（21）利用分部积分公式：（22）（15）式可以写为对第二项再分部积分，消去边界项（在±∞处Ψ趋于0），得：所以：又则有（6）式中的（x、p为算符）：（23）（9）式：所以，标准差：（24）参考文献：《Introductiontoquantummechanics》——DavidJGriffiths