《超级画板》进行数学探究性教学案例

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1、《超级画板》帮你教数学之12《超级画板》与探究性教学案例（1）彭翕成华中师范大学教育信息技术工程研究中心，武汉430079江春莲华中师范大学数学与统计学学院，武汉430079《超级画板》为数学探究性活动提供了有力的工具平台[1-2]，用它作出一些特殊的点、线的轨迹已是一件非常容易之事。本文将基于《超级画板》从椭圆的作图问题延伸拓展，并从数学的角度解释得到的二次曲线轨迹。【例1】在人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-1第39页例3是这样的：（如图1）设点A，B的坐标分别为，.直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为，求点M的轨迹方程。图1图2在《超级画板》中，对这一问题，我们只需

2、要两次使用“LineOfPointSlope(,,);”命令作出两直线及其交点（两直线的斜率可分别用变量和），再作出的动画并对点M进行跟踪。我们不难求出其轨迹方程为.【椭圆作图的切线法】在众多的椭圆作法中，有个“切线法”。该法主要步骤是：（1）作圆及其直径AB，（2）分别过A，B作的切线，，（3）在上任取一点C，过点C作的切线分别交，于点G，H，连接AH，BG交于点M，则当点C在上运动时，点M的轨迹为椭圆（图2）。事实上，若以为原点，直径AB为轴建立直角坐标系，则可设的方程为，则切线，的方程分别为和，若设点C坐标为，则切线GH的方程为，所以点G，H的坐标分别为，，所以直线AH，BG的方程分别为

3、和，两方程联立解得点M坐标为，所以点M的轨迹方程为。实际上，按此方法我们只能作出长轴为圆的直径，短轴为其半径一半的椭圆。在上述讨论中，由直线AH，BG的方程我们可以得出，即为定值，这是切线法与前述例题一致的地方。下面我们将从例1与椭圆作图的切线法提出一些数学问题进行探讨。【拓展1】例1中，若设点A，B的坐标分别为，.直线AM，BM的斜率之积为，则点M的轨迹方程为。现在的问题是，在这种情况下，若设直线AM与过点B的直线的交点为H，直线BM与过点A的直线的交点为G（图3），则直线GH有什么特点？我们对直线GH进行跟踪发现其包络为椭圆（图4）。这里我们讨论一下该包络的方程。若设直线AM的方程为，则直

4、线BM的方程为，进而可求得点G，H的坐标分别为和，所以，直线GH的方程为，设，则直线GH的包络由方程组确定。而，由此我们得到方程组，解得，消去参数得：.图3图4【拓展2】在椭圆作图的切线法中，若AB不是直径，结果如何呢？图5表明，点M的轨迹仍为椭圆。我们还是以为原点，平行于AB的直线为轴建立直角坐标系，则可设点A，B的坐标为和，过点A，B的切线方程分别为和，这两个方程分别与过点C的切线方程联立可求得点G，H的坐标分别为，。所以直线AH，BG的方程分别为和，联立两式解得点M的坐标为，由其解得，由并整理得点M的轨迹方程。图5图6【拓展3】在椭圆作图的切线法中，若G，H仍为过点C的切线与直线的交点，

5、但将A移至直线上其他地方，结果又如何呢？仿上可设点C坐标，则切线GH的方程为，点G，H的坐标为和，若设A，则直线AH的方程为，将其与BG的方程联立解得点M坐标为，由其解得，所以点M的轨迹方程为，其，所以当时，轨迹为椭圆（图6）；当时，轨迹为抛物线（图7）；当时，轨迹为双曲线（图8）。图7图8【拓展4】在拓展3中，若GH不是垂直于半径OC，而是垂直于连接点C与轴上任一点D的连线，结果又如何呢？仿上可设点C坐标，D，则直线CD的方程为，则直线GH的方程为，所以点G，H的坐标为，。仍设A，则直线AH，BG的方程分别为和，将（1）式变形得，将（2）（3）两式相乘并整理得点M的轨迹方程，其，所以当时，轨

6、迹为椭圆（图9）；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线（图10）。图9图10参考文献：[1].张景中，江春莲，彭翕成.《动态几何》课程的开设在数学教与学中的价值.数学教育学报，2007（3），1-5.[2].张景中，彭翕成.函数作图软件的评价和选择，数学通报，2007（8），1-9.