《点估计问题概述》PPT课件

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1、第六章参数估计n在实际问题中,当所研究的总体分布类型已知,但分布中含有一个或多个未知参数时,如何根据样本来估计未知参数，这就是参数估计问题.n参数估计问题分为点估计问题与区间估计问题两类.所谓点估计就是用某一个函数值作为总体未知参数的估计值；区间估计就是对于未知参数给出一个范围，并且在一定的可靠度下使这个范围包含未知参数.2N(,)n例如,灯泡的寿命X是一个总体,根据实际2经验知道,X服从N(,),但对每一批灯泡2而言,参数,是未知的,要写出具体的分布函数,就必须确定出参数.此类问题就属于参数估计问题.F(x,)n参数估计问题的一般提法:n设有一个统计总体,总体的

2、分布函为F(x,),其中为未知参数(可以是向量).现从该总体中随机地抽样,得一样本X,X,,X12nn再依据该样本对参数作出估计,或估计参数的某已知函数g().第一节点估计问题概述n内容分布图示nn★引言n★点估计的概念★例1n★评价估计量的标准n★无偏性★例2★例3n★有效性n★例4★例5★例6n★相合性★例7★例8n★内容小结★课堂练习n★习题6-1内容要点：n一、点估计的概念n设X1,X2,,Xn是取自总体X的一个样本,x1,x2,,xn是相应的一个样本值.是总体分布中的未知参数,为估计未知参数,需构造一个适当的统计量ˆ(X,X,,X),12nn

3、然后用其观察值ˆ(x,x,,x)12nn来估计的值.n称ˆ(X1,X2,,Xn)为的估计量.称ˆ(x1,x2,,xn)为的估计值.在不致混淆的情况下,估计量与估计值统称为点估计,简称为估计,并简记为ˆ.ˆ(X,X,,X)n注:估计量12n是一个随机变量,是样本的函数，即是一个统计量,对不同的样本值,的估计值ˆ一般是不同的.二、评价估计量的标准n从例1可见,参数点估计的概念相当宽松,对同一参数,可用不同的方法来估计,因而得到不同的估计量,故有必要建立一些评价估计量好坏的标准.n估计量的评价一般有三条标准:n1.无偏性;n2.有效性;n3.相合性（一致性）.

4、n在本节的后面将逐一介绍之.n在具体介绍估计量的评价标准之前,需指出:评价一个估计量的好坏,不能仅仅依据一次试验的结果,而必须由多次试验结果来衡量.因为估计量是样本的函数,是随机变量.故由不同的观测结果,就会求得不同的参数估计值.因此一个好的估计,应在多次重复试验中体现出其优良性.n1．无偏性n估计量是随机变量,对于不同的样本值会得到不同的估计值.一个自然的要求是希望估计值在未知参数真值的附近,不要偏高也不要偏低.由此引入无偏性标准.ˆ(X,,X)n定义1设1n是未知参数的估计量,若E(ˆ),n则称ˆ为的无偏估计量.n注:无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求,

5、其实际意义是指估计量没有系统偏差，只有随机偏差.在科学技术中,称E(ˆ)n为用ˆ估计而产生的系统误差.n例如,用样本均值作为总体均值的估计时,虽无法说明一次估计所产生的偏差,但这种偏差随机地在0的周围波动,对同一统计问题大量重要使用不会产生系统偏差.n对一般总体而言，我们有n定理1设X1,,Xn为取自总体X的样本,总2体X的均值为,方差为.则n(1)样本均值X是的无偏估计量;22n(2)样本方差S是的无偏估计量;n122n(3)样本二阶中心矩(XiX)是的有偏估计ni1量.n2．有效性n一个参数常有多个无偏估计量,在这些估计量中,自然应选用对的偏

6、离程度较小的为好,即一个较好的估计量的方差应该较小.由此引入评选估计量的另一标准—有效性.n定义2设ˆˆ(X,,X)和ˆˆ(X,,X)都是参数的无偏估111n221n计量,若D(ˆ)D(ˆ)12n则称ˆ较ˆ有效.12n注:在数理统计中常用到最小方差无偏估计,其定义如下:n设X1,,Xn是取自总体X的一个样本,ˆ(X1,,Xn)是未知参数的一个估计量,若满足:E(ˆ),ˆn(1)即为的无偏估计;E(ˆ)(ˆ),n(2)ˆ是的任一无偏估计.n则称ˆ为的最小方差无偏估计(也称最佳无偏估计).n3．相合性(一致性)n我们不仅

7、希望一个估计量是无偏的,并且具有较小的方差,还希望当样本容量无限增大时,估计量能在某种意义下任意接近未知参数的真值,由此引入相合性(一致性)的评价标准.ˆˆ(X,,X)n定义3设1n为未知参数的估计量,若依概率收敛于,即对任意0,有limP{

8、ˆ

9、}1,nn或limP{

10、ˆ

11、}0,nn则称ˆ为的(弱)相合估计量.n例题选讲：n点估计的概念n（讲义例1）设X表示某种型号的电子元件的寿命(以小时计)，它服从指数分布：1x/e,x0X~