函数单调性与最值(ok)1

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1、§1.3.1单调性与最大(小)值§1.3.1单调性与最大(小)值请大家思考,是否每个函数都有最大值,最小值？举例说明.(1)f(x)x1;2(2)f(x)x;23fxx2x1,x1,3Ø一个函数不一定有最值.Ø有的函数可能只有最大(或小)值.Ø如果一个函数存在最值，那么函数的最值都是唯一的,但取最值时的自变量可以有多个.§1.3.1单调性与最大(小)值利用图象求函数最值先作出函数图象，寻找闭区间上的图象的最高点或最低点．例题1：已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时

2、，求函数的最大值和最小值：(1)x∈R；(2)[0,3]；(3)[－1,1]．§1.3.1单调性与最大(小)值【思路点拨】作出y＝3x2－12x＋5(x∈R)的图象再分别截取x∈[0,3]，x∈[－1,1]上的图象，看图象的最高点，最低点的纵坐标．§1.3.1单调性与最大(小)值【解】f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7.(1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7，当x＝2时，等号成立．即函数f(x)的最小值为－7，无最大值．(2)函数f(x)的图象如图所示，由图可知，函数f(x)在[0,2)上递减

3、，在[2,3]上递增，并且f(0)＝5，f(2)＝－7，f(3)＝－4，所以在[0,3]上，函数f(x)在x＝0时取得最大值，最大值为5，在x＝2时，取得最小值，最小值为－7.(3)由图象可知，f(x)在[－1,1]上单调递减，f(x)max＝f(－1)＝20，f(x)min＝f(1)＝－4.【名师点拨】要根据定义域截取图象§1.3.1单调性与最大(小)值例1.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的2高度hm与时间ts之间的关系为h(t)4.9t14.7t18,那么

4、烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)?§1.3.1单调性与最大(小)值例1.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的2高度hm与时间ts之间的关系为h(t)4.9t14.7t18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)?解:作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象.则函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面的高度.§1.3.1

5、单调性与最大(小)值例1.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的2高度hm与时间ts之间的关系为h(t)4.9t14.7t18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)?由二次函数的知识,对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:当t14.71.5时，2(4.9)函数有最大值24(4.9)1814.7h29.4(4.9)答:烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29m.§1

6、.3.1单调性与最大(小)值【1】求函数y=x2-2x-1的值域和最值.(1)x∈[0,3](2)x∈(2,4]1y(3)x∈[-2,-1]xymin=f(1)=-2,ymin=f(-1)=2,ymax=f(3)=2.ymax=f(4)=7.y=f(-2)=7.max值域[-2,2]值域(-1,7]值域[2,7]对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素§1.3.1单调性与最大(小)值利用函数单调性求函数最值运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别当函数图象不易作

7、出时，单调性几乎成了首选方法。解题步骤：先判断或证明出函数的单调性，再结合区间端点对应的函数值大小得出最值。§1.3.1单调性与最大(小)值2例2.求函数y在区间[2，6]上的最x1大值和最小值．解:设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x10,(x1-1)(x2-1)>0,于是f(x1)f

8、(x2)0,§1.3.1单调性与最大(小)值即f(x)f(x).122所以,函数y是区间[2,6]上的减函数.x12因此,函数y在区间[2,6]上的两个端点x1上分别取得最大值和最小值.y当x=2时取最大值32yf(2)2;2max211当x=6时取最小值22yminf(6).o123456