函数的单调性与最值1

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1、第三节函数的单调性与最值基础梳理1.定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2))．f(x1)f(x2))区间D局部

2、定义域任意2.如果函数y＝f(x)在某个区间上是________或________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的________．注意：若一个函数出现两个或两个以上单调区间时，不能用“∪”联结．单调区间增函数减函数3.复合函数的单调性对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，那么复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有________，并且具有这样的规律：“__

3、______”，见表.y＝f(u)增函数减函数u＝g(x)增函数减函数增函数减函数y＝f(g(x))单调性同增异减增函数增函数减函数减函数增函数减函数4.函数的最值(1)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对于任意的x∈I，都有________．②存在x0∈I，使得________．则称M是f(x)的最大值．(2)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对于任意的x∈I，都有________．②存在x0∈I，使得________．则称M是f(x)的最小值．f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(

4、x0)＝M基础达标(教材改编题)下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()A.y＝－x＋1B.y＝C.y＝x2－4x＋5D.y＝B解析：结合函数的图象可知只有选项B对应的函数满足题意．2.(教材改编题)f(x)＝4x2－mx＋5在[－2，＋∞)为增函数，f(1)的取值范围是()A.(－∞，25]B.(25，＋∞)C.[25，＋∞)D.(－∞，25)C解析：由题意知对称轴≤－2，即m≤－16，所以f(1)＝9－m≥25.3.若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是()A.增函数B.减函

5、数C.先增后减D.先减后增B解析：由题意可知a＜0，b＜0，∴y＝ax2＋bx的对称轴方程：x＝＜0，又∵a＜0，∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数．4.函数f(x)＝在[2,3]上的最小值为________，最大值为________．解析：∵f(x)在(1，＋∞)上为减函数，∴f(x)在[2,3]上单调递减，∴f(x)min＝f(3)＝，f(x)max＝f(2)＝1.5.函数的单调递减区间是________．(3，＋∞)解析：令u＝

6、x－3

7、，则在(－∞，3)上u为x的减函数，在(3，＋∞)上u为x的增函数．又∵0<<1，

8、∴在定义域内为减函数，∴在区间(3，＋∞)上y为x的减函数．经典例题【例1】判断并证明函数f(x)＝，x∈[－1，＋∞)的单调性．题型一　函数单调性的判断与证明分析：判断函数的单调性可利用定义法、导数法、图象法或利用已知函数的单调性，但是严格证明需采用定义法或导数法，本题可以先判再证．解：函数f(x)=在[-1，+∞)上为增函数，证明如下：任取x1、x2∈[-1，+∞)且-1≤x1

9、)上为增函数．判断并证明函数f(x)＝(a>0)在x∈(－1,1)上的单调性．变式1－1方法一(定义法)：设－10，x1x2+1>0，(x12-1)(x22-1)>0.又a>0，∴f(x1)-f(x2)>0，函数f(x)在(-1,1)上为减函数．方法二(导数法)：∵a>0，x2+1>0，(x2-1)2>0，∴f‘(x)<0，∴函数f(x)在(-1,1)上为减函数．题型二　求函数的单调区间【例2】求函数f(x)＝x＋的单调区间．分析：利用定义法或导数法．

10、解：方法一：首先确定定义域{x

11、x≠0}，所以要在(-∞，0)和(0，+∞)两个区间上分别讨．任取x1，x2∈(0，+∞)且x1