九年级数学下册 第二章 二次函数 2.5 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程教案1 北师大版

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1、2.5二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系；(重点)2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根；(重点)3．通过观察二次函数与x轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．(难点)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、情境导入一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示．现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离OC＝2.4m.当水位上升一定高度到达点F时，这时，离水面距离CF＝1.

2、5m，则涵洞宽ED是多少？是否会超过1m?根据已知条件，要求ED宽，只要求出FD的长度．在如图所示的直角坐标系中，只要求出点D的横坐标即可．由已知条件可得到点D的纵坐标，又因为点D在涵洞所成的抛物线上，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标．你会求吗？二、合作探究探究点一：二次函数与一元二次方程【类型一】求抛物线与x轴的交点坐标已知二次函数y＝2x2－4x－6，它的图象与x轴交点的坐标是________________．解析：y＝2x2－4x－6＝2(x2－2x－3)＝2(x－3)(x＋1)，设2(x－3)(x＋1)＝0，解得x1＝3，x2＝－1，∴它的图象与

3、x轴交点的坐标是(3，0)，(－1，0)．故答案为(3，0)，(－1，0)．方法总结：抛物线与x轴的交点的横坐标，就是二次函数为0时，一元二次方程的解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】判断抛物线与x轴交点的个数已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．解析：(1)只需证明Δ＝(m＋2)2－4m×2≥0即可；(2)利用因式分解法求得抛物线与x轴交点的横坐标，然后根据x的值来求正整数m的值．(1)证明：∵m≠0，∴

4、Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0，∴Δ≥0，∴此抛物线与x轴总有两个交点；(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，所以x－1＝0或mx－2＝0，解得x1＝1，x2＝.当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数．所以正整数m的值为1或2.方法总结：解答本题的关键是明确当根的判别式Δ≥0抛物线与x轴有两个交点．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】已知抛物线与x轴的交点个数，求字母系数的取值范围已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求

5、k的取值范围．解析：应分k－3＝0和k－3≠0两种情况进行讨论，(1)当k－3＝0即k＝3时，此函数是一次函数；(2)当k－3≠0，即k≠3时，此函数是二次函数，根据函数图象与x轴有交点可知Δ＝b2－4ac≥0，求出k的取值范围即可．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3；当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4

6、.方法总结：由于k的取值范围不能确定，所以解决本题的关键是要注意分类讨论，不要漏解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题【类型四】二次函数与一元二次方程的判别式、根与系数的关系的综合已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．解析：(1)利用关于x的一元二次方程x2＋ax＋a－2＝0的根的判别式的符号进行证明；(2)利用根与系数的关系写出x1、x2的平方和是x＋x＝(x1＋x2)

7、2－2x1x2＝a2－2a＋4＝3，由此可以求得a的值．(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，∴a＝1.方法总结：判断一元二次方程与x轴的交点，只要看根的判别式的符号即可，而要判断一元二次方程根的情况，要利用根与系数关系．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题探究点二：利用二次函数解决运动中的抛物