中考数学培优满分专题突破 专题2 图形变式与拓展

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1、专题2　图形变式与拓展常考类型分析专题类型突破类型1关于三角形的变式拓展问题【例1】在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1＝∠2＝45°.(1)如图1，若AO＝OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；(2)将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO＝OB.求证：AC＝BD，AC⊥BD；(3)将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求【思路分析】通过观察可以猜想AO与BD相等且互相垂直；在后面的问题中，通过添加BD的垂线，使问题转化为全等三角形和相似三角形问题加以解决．【解】(1)AO＝BD，AO⊥BD.(2)证明：如图1，过点B作BE∥C

2、A交DO于点E，延长AC交DB的延长线于点F.∴∠ACO＝∠BEO.又∵AO＝OB，∠AOC＝∠BOE，∴△AOC≌△BOE.∴AC＝BE.又∵∠1＝45°，∴∠ACO＝∠BEO＝135°.∴∠DEB＝45°.∵∠2＝45°，∴BE＝BD，∠EBD＝90°.∴AC＝BD.∵BE∥AC，∴∠AFD＝90°.∴AC⊥BD.(3)如图2，过点B作BE∥CA交DO于点E，∴∠BEO＝∠ACO.又∵∠BOE＝∠AOC，∴△BOE∽△AOC.又∵OB＝kAO，由(2)的方法易得BE＝BD.满分技法►图形拓展类问题的解答往往需要借助几何直观、转化、类比的思想方法．在原图形中

3、具备的位置和数量关系，在图形变化后这种关系是否存在或又存在着怎样的新的关系，可通过类比进行推理、验证，所用方法和第(1)问所用方法相似，可借鉴原结论方法，并进行拓展，只要沿着这样的思路进行即可解决．满分变式必练►1.已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6.点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.(1)如图1，过点P作PF∥AQ交BC于点F，求证：△PDF≌△QDC；(2)如图2，当点P为AB的中点时，求CD的长；(3)如图3，过点P作PE⊥BC于点E，在点P从点B向点A移动的过程中

4、，线段DE的长度是否保持不变？若保持不变，请求出DE的长度，若改变，请说明理由．解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB.∴∠B＝∠PFB.∴BP＝FP.由题意，得BP＝CQ，∴FP＝CQ.∵PF∥AC，∴∠DPF＝∠DQC.又∠PDF＝∠QDC，∴△PDF≌△QDC.(2)如图，过点P作PF∥AC交BC于点F.∵点P为AB的中点，(3)线段DE的长度保持不变．如图，过点P作PF∥AC交BC于点F.由(1)知，PB＝PF.∵PE⊥BC，∴BE＝EF.由(1)知，△PDF≌△QDC，CD＝DF.2.如图1，△ABC中，∠ABC

5、＝45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH＝CH，连接BD.(1)求证：BD＝AC；(2)将△BHD绕点H顺时针旋转，得到△EHF(点B，D分别与点E，F对应)，连接AE.①如图2，当点F落在AC上时(F不与C重合)，若BC＝4，tanC＝3，求AE的长；②如图3，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由．解：(1)在Rt△AHB中，∠ABC＝45°，∴AH＝BH.在△BHD和△AHC中，∴△BHD≌△AHC(SAS)．∴BD＝AC.(2)①在Rt△AHC

6、中，∵tanC＝3，设CH＝x，则BH＝AH＝3x.∵BC＝4，∴3x＋x＝4.∴x＝1.∴AH＝3，CH＝1.由旋转，知∠EHF＝∠BHD＝∠AHC＝90°，EH＝AH＝3，FH＝DH＝CH＝1，∴△EHA∽△FHC.∴∠EAH＝∠C.∴tan∠EAH＝tanC＝3.如图，过点H作HP⊥AE于点P，∴HP＝3AP，AE＝2AP.在Rt△AHP中，AP2＋HP2＝AH2，∴AP2＋(3AP)2＝9.②EF＝2GH.理由如下：设AH与CG交于点Q，由①知，△AEH和△FHC都为等腰三角形．又∵旋转角为30°，∴∠FHD＝∠BHE＝30°.∴∠EHA＝∠FHC＝1

7、20°.∴∠HCG＝∠GAH＝30°.∴△AGQ∽△CHQ.∴∠AGQ＝∠CHQ＝90°.又∵∠GQH＝∠AQC，∴△GQH∽△AQC.3.[教材改编题](1)问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，则∠AEB的度数为________，线段AD，BE之间的关系为________；(2)拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE.①请判断∠AEB的度数，并说明理由；②当CM＝5时，AC比BE的长度多6时，求AE

8、的长．解：(1)60°　相等(2)①∠