2019版八年级数学下册 第一章 三角形的证明试题 （新版）北师大版

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1、第一章　三角形的证明　　1.等腰三角形的性质与判定的应用(1)应用等腰三角形的性质证明线段或角相等【例1】如图，∠ABC=90°①，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD=DE②.点F是AE的中点③，FD与AB相交于点M.(1)求证：∠FMC=∠FCM.(2)AD与MC垂直吗④?并说明理由⑤.【信息解读·破译解题秘钥】信息①直译为：△ABC是直角三角形，进而得到∠DCF与∠MAC互余；信息②翻译为：△ADE是等腰直角三角形；信息③直译为：AF=EF；破译：整合条件②③，得到DF⊥AE，DF=AF=EF.破译：整合条件①②③

2、，得到∠AMF与∠MAC互余，结合①可得∠DCF=∠AMF，根据“AAS”定理判定△DFC≌△AFM，进而得到∠FMC=∠FCM.信息④翻译为：猜想结论“AD⊥MC”.信息⑤翻译为：根据已知条件，构建图形：延长AD交MC于点G，进而推理说明“AD⊥MC”.破译：整合条件①②③④，得到∠FDE=∠FMC=45°，进而得到DE∥CM，说明AG⊥MC，即AD⊥MC.【标准解答】(1)∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE的中点，∴DF⊥AE，DF=AF=EF.又∵∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∴∠DCF=∠AMF

3、.又∵∠DFC=∠AFM=90°，∴△DFC≌△AFM(AAS).∴CF=MF.∴∠FMC=∠FCM.(2)AD⊥MC.理由如下：如图，延长AD交MC于点G.由(1)知∠MFC=90°，FD=FE，FM=FC.∴∠FDE=∠FMC=45°，∴DE∥CM.∴∠AGC=∠ADE=90°，∴AG⊥MC，即AD⊥MC.(2)判定一个三角形是否为等腰三角形时，我们经常首先考虑等腰三角形的定义，其次考虑等腰三角形的判定定理.【例2】已知：如图，在△ABC中，点D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC，求证：AB=AC.【

4、标准解答】∵AD平分∠EDC，∴∠ADE=∠ADC，∵DE=DC，AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴∠C=∠E，∵∠E=∠B.∴∠C=∠B，∴AB=AC.(3)等边三角形的性质与判定等边三角形是特殊的等腰三角形，它除了具备“三线合一”的性质外，还能提供更多的边、角关系，特别是60°的角.【例3】如图，点E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点①，且BE=AF②，CE，BF交于点P.(1)求证：CE=BF.(2)求∠BPC的度数.【信息解读·破译解题秘钥】条件①翻译为：AB=BC③=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=6

5、0°④；条件②直译为：BE=AF⑤，破译：整合条件①④，得到∠FAB=∠EBC⑥，破译：整合条件②③⑥，应用“SAS”定理，判定△BCE≌△ABF⑦.信息⑦翻译为：CE=BF，∠PCB=∠ABF⑧；破译：读图、析图得，∠PBC+∠ABF=60°⑨，∠CPB+∠PCB+∠PBC=180°⑩，破译：整合信息⑧⑨得∠PCB+∠PBC=∠ABF+∠PBC=60，破译：整合信息⑩⑪得到：∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-60°=120°.【标准解答】(1)∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°，在

6、△BCE与△ABF中，∴△BCE≌△ABF(SAS)，∴CE=BF.(2)由(1)知△BCE≌△ABF，∴∠BCE=∠ABF，∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，∴∠BPC=180°-60°=120°.1.在等边△ABC中，点D是AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4，则下列结论错误的是(　　)A.AE∥BCB.∠ADE=∠BDCC.△BDE是等边三角形D.△ADE的周长是92.如图，已知：在△ABC中，AB=AC，点M是BC的中点，点D，E分

7、别是AB，AC边上的点，且BD=CE，求证：MD=ME.　　2.分类讨论思想在等腰三角形中的应用等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在求解有关等腰三角形的问题时经常要注意分类讨论.(1)已知等腰三角形的一角求另两角：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解.【例1】已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数为(　　)A.55°，55°　　　　　　　B.70°，40°C.55°，55°或70°，40°D.以

8、上都不对【标准解答】选C.70°角可能是顶角，也可能是底角.当70°角是底角时，则顶角的度数为180°-70°×2=40°；当70°角是顶角时，则底角的度数为(180°-70°)÷2=55°.所以这个等腰三角形的另外两个内角的度数为55°，55°或70°，40°