高中数学导数经典综合题

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1、1、已知函数（I）求函数的单调区间；（II）若函数的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，函数在区间（1，3）上总是单调函数，求m的取值范围；（III）求证：。2．已知函数为自然对数的底数）（1）求的单调区间，若有最值，请求出最值；（2）是否存在正常数，使的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。3．设函数（1）求证：的导数；（2）若对任意都有求a的取值范围。4,已知函数（（1）若函数在定义域上为单调增函数，求的取值范围；（2）

2、设5,已知f(x)＝xlnx－ax，g(x)＝－x2－2，（Ⅰ）对一切x∈(0,+∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝－1时，求函数f(x)在[m，m＋3](m＞0)上的最值；（Ⅲ）证明：对一切x∈(0,+∞)，都有lnx＋1＞成立。6.（1）若，求证:；（2）设，若，判断在上的单调性；（3）求证:.1.而函数为上递减函数，则,则或.注：也可以考虑而函数在区间（1,3）上总是单调函数，则,可以得出或⑶令由（I）知，上单调递增，，2．解：（1）①当恒成立上是增函数，F只有一个单调递增区间（0，

3、-∞），没有最值②当时，，若，则上单调递减；若，则上单调递增，时，有极小值，也是最小值，即所以当时，的单调递减区间为,单调递增区间为，最小值为，无最大值（2）方法一，若与的图象有且只有一个公共点，则方程有且只有一解，所以函数有且只有一个零点由（1）的结论可知此时，,的图象的唯一公共点坐标为,又,的图象在点处有共同的切线，其方程为，即.综上所述，存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该点处的公切线方程为方法二：设图象的公共点坐标为，根据题意得①②,即由②得，代入①得,从而,此时由（1）可知时，,因此除外，再没有其它，使故

4、存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得公共点坐标为，公切线方程为3．解：（1）的导数，由于，故，当且仅当时，等号成立；…………………………4分（2）令，则，（ⅰ）若，当时，，故在上为增函数，所以，时，，即．…………………………8分（ⅱ）若，解方程得，，所以，（舍去），此时，若，则，故在该区间为减函数，所以，时，，即，与题设相矛盾。综上，满足条件的的取值范围是。…………………………13分4.解：（1）的定义域是，所以在上恒成立.……3分所以的取值范围是……6分（2）不妨设，（若交换顺序即可）

5、即证只需证………9分由（1）知上是单调增函数，又，………11分所以………13分5.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）对一切恒成立，即恒成立.也就是在恒成立.………1分令，则，……2分在上，在上，因此，在处取极小值，也是最小值，即，所以.……4分（Ⅱ）当，，由得.………6分①当时，在上，在上因此，在处取得极小值，也是最小值..由于因此，………8分②当，，因此上单调递增，所以，……9分（Ⅲ）证明：问题等价于证明,………10分由(Ⅱ)知时，的最小值是，当且仅当时取得，……11分设，则，易知，当且仅当时取到，………12分但从而可知

6、对一切，都有成立.……13分6．（1）证明：设，则所以，在上是增函数，，即，（2）解：，，在上是增函数（3）由（2）可知，时，在上是增函数，，即令，可得令，可得以上不等式相乘可得又，.