D21数列的极限PPT

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1、第2章极限与连续性§2.2函数的极限§2.3无穷小量与无穷大量§2.1数列的极限§2.4函数的连续性第2章2.1.4收敛数列的性质2.1.6收敛原理2.1.3数列极限的定义§2.1数列的极限2.1.1问题的引入2.1.2数列2.1.5子列·上(下)确界2.1.1问题的引入设有一半径为的圆，令分别表示圆内接正n边形的周长与面积，引例.如图所示,可得：当n无限增大时，解：的变化特征如何？“割之弥细，则与圆周合体而无所失矣。”刘徽：试问：机动目录上页下页返回结束试求其周长与面积?所失弥少，割之又割，以至于不可割，可视为自变量取

2、自然数的由函数的概念，2.1.2数列的概念按自然数的顺序排列的一串实数:称为(实)数列。函数(即定义域为N的函数)，或整序变量。还可理解为数轴上不断运动着的点列，随着时刻的推移在数轴上依次取各点。从几何上看，故数列也常被称为整标函数记作：记作：机动目录上页下页返回结束数列因此，函数的有关性质对数列也是成立的。●例如：●0●1●●●●●-1●●●●●●●●●●●●●●●●●●0●●1-1又如：再如：机动目录上页下页返回结束数列数列数列假若如此，各项之值是如何变化的？心的量在各个时刻所处的状态，有益的，更注重它们的变化趋势。

3、但这还不够。Ⅰ)如何度量两个量的接近程度？Ⅱ）如何刻画“任意接近”？对于用数列所描述的实际问题而言，我们怎样才能找到此常数？而前者则是理论问题。这就提出了以下急待解决的问题：机动目录上页下页返回结束其取值反映了所关这对于研究问题而言无疑是我们不仅关心这个量在固定时刻的取后者是个方法问题，（即构建任意接近的逻辑基础）值，也就是说，随逐步增大时，是否与某个常数任意接近？如对于通项为：由于反映了各值与“1”的接近程度，所对应的各值与“1”就“越接近”；不难看出，要使机动目录上页下页返回结束只须即可，例如：的数列，n“越大”，●

4、●●●●●●●故只要与数“1”的接近程度均小于也就是说：就“越小”，即就能保证从100项之后的各项：要使只须所对应的一切完全类似地，一般地，只须取当时，即：必有机动目录上页下页返回结束要使都有综上分析：都有：对于数列与常数“1”，在逻辑上满足：所对应的一切2.1.3数列极限的定义定义如果数列在逻辑上满足：对于任意给定的正数总存在着自然数N，对于都有：则称数列或或如果数列不收敛，记作：与常数时的一切机动目录上页下页返回结束就称之是发散的(数列)。是收敛(于)的；常数称为数列（当趋于无穷时）的极限。例如：的趋势不定收敛发散机

5、动目录上页下页返回结束例1.试证数列的极限为C。证:对一切的自然数，因此，则当时，机动目录上页下页返回结束其中：C为常数，分析：综上分析：当时,都有：即设数列的通项为：总有：可取必有例2.试证：证:欲使只须取分析：则当时，必有：综上分析：当时,都有：故也可取也可由取机动目录上页下页返回结束设数列的通项为：说明:N与有关，但不唯一，只要N存在，不一定取最小的N。例3.试证等比数列证:欲使只须即因此，取则当必有的极限为0。机动目录上页下页返回结束分析:综合分析:当时，都有：时，设常数例4.试证：证:欲使即因此，则当就有机动

6、目录上页下页返回结束令则只须又分析:时，取综上分析:当时，都有：故只要注明：N与的关联性改变数列有限项之值，其敛散性不受影响；机动目录上页下页返回结束取值的任意性当收敛时，对于某个特定的使得必有无限多项。是数列极限的一种逻辑规则，其极限值也不发生改变；(最多只有有限项）x与相对(寻求N时)的给定(不变)性；以及N选取的多样性；并非求极限的方法；几何意义:收敛于的例5.的数列发散。证:假设数列收敛于常数a，取必存在着即数列除有限项外均要落在长度为“1”的开区间内，而此数不可能是取“1”与“-1”两点的一串使得当因此该数

7、列发散。机动目录上页下页返回结束的点列(即与条件矛盾)，证明通项为：用反证法:都有：()（“反证法，就是证明逆否命题,”）自然数，时所对应一切的，2.1.4收敛数列的性质定理1（有界与唯一性）收敛数列必是有界的且极限是唯一的。证:先证有界性：取从而有取则有有当时,则收敛于常数a，设数列机动目录上页下页返回结束()()再证唯一性：用反证法：及且取因故存在N1,同理，因故存在N2，使当使当假设则当机动目录上页下页返回结束不妨设且这与数列收敛矛盾。取时，有时，有时，有证毕定理2（保序性）证:则即：ⅱ）用反证法，机动目录上页下页

8、返回结束设两数列均收敛，ⅰ）若ⅱ）若则ⅰ）取由极限的唯一性证明知，存在着N，若即由ⅰ）得这与所给条件矛盾。设当时，有证毕说明:在ⅰ）中用的是严格的不等号；在ⅱ）中用的是非严格的严格的不等号，如：显然：推论1设数列收敛，不等号，ⅰ）若ⅱ）若只要在保序性定理中，再分别与作比较即得验证。即使把ⅱ）条件改为严格的不等号，其结