第二次诊断性测验理科数学试题参考答案及评分标准

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1、乌鲁木齐地区2014年高三年级第二次诊断性测验理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题:共12小题，每小题5分，共60分.题号123456789101112选项CDCCBBCABACA1.选C.【解析】由得，故，∴.2.选D.【解析】∵，∴的充要条件是.3.选C.【解析】由题意得，解得，，又，∴，∴.4.选C.【解析】，该几何体的直观图为右图所示∴.5.选B.【解析】∵是偶函数，∴，∴，令，.6.选B.【解析】循环体执行第一次时：；循环体执行第二次时：循环体执行第三次时：；∴输出.7.选C.【解析】当向量两两成角时，；当向量两两成角时，∵；∴8.选

2、A.【解析】根据题意有，∴点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线，，方程为乌鲁木齐地区2014年高三年级第二次诊断性测验理科数学答案第10页（共10页）.9.选B.【解析】∵过，∴，又，∴，∵过，∴，∴，或，即，或，又，选B.10.选A.【解析】∵，当时，有∴，即，当时，越大，的值越小，，∴.11.选C.【解析】∵从到这个数字中任取个数字组成一个没有重复数字的三位数有个；其中，能被整除的，可以分为“含”与“不含”两类；“含”：由这样的数字构成：，它们组成的无重复数字的三位数有个；或由构成，它们组成的无重复数字的三位数有个，共有个“不含”：由这样的数

3、字构成：⑴含中的一个，另外两个数字分别为，它们组成的无重复数字的三位数有个；⑵由三个数字构成无重复数字的三位数有个；⑶无，由组成无重复数字的三位数有个，故，从到这个数字中任取个数字组成一个没有重复数字的三位数中能被整除的共有个，∴能被整除的概率为.12.选A.【解析】设，，由过焦点，易得，，则有，同理，将点代入直线方程，有，两边乘以，得乌鲁木齐地区2014年高三年级第二次诊断性测验理科数学答案第10页（共10页），又，，所以，同理故，所求直线为．二、填空题:共4小题，每小题5分，共20分.13.填.【解析】依题意有，两式相减得，，∴.14.填.【解

4、析】根据题意，阴影部分的面积为，即，，，又，故.15.填.【解析】设半径为的球内接直三棱柱的上下底面外接圆的圆心分别为，则球心在线段的中点处，连接，则，在中，，∴，，∴，∴，∴此球的表面积等于.16.填.【解析】曲线，则，设，依题意知…⑴，…⑵，∴是方程的两个根∴…⑶，下证线段的中点在曲线上，∵，而∴线段的中点在曲线上，由⑶知线段的中点为，解得.三、解答题（共6小题，共70分）17.（本小题满分12分）（Ⅰ）在中，，乌鲁木齐地区2014年高三年级第二次诊断性测验理科数学答案第10页（共10页），，…6分（Ⅱ）由，，得而∵，∴，，∴，即时，…12分1

5、8.（本小题满分12分）（Ⅰ）在梯形中，∵∥，∴，又，∴∥∥在中，∵，，∴∥∴平面∥平面；…6分（Ⅱ）在中，∴，即，又平面⊥平面∴⊥平面，而故，如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，在梯形中，，，∴，则有，由，得，，乌鲁木齐地区2014年高三年级第二次诊断性测验理科数学答案第10页（共10页）设平面的法向量为，由，得，令，解得，∴同理，可得平面的法向量为设二面角的平面角为，易知，∴．…12分19．（本小题满分12分）（Ⅰ）若取出的个球都是红色，共有种情形，若取出的个球都是黑色，共有种情形，故取出的个球同色的概率为；…6

6、分（Ⅱ）依题意知；；；；∴的分布列为∴…12分20．（本小题满分12分）（Ⅰ）根据题意有，又，解得∴椭圆的方程为…5分（Ⅰ）不妨设为椭圆的右焦点乌鲁木齐地区2014年高三年级第二次诊断性测验理科数学答案第10页（共10页）当直线的斜率存在时，的方程为…⑴，设，，把⑴代入椭圆的方程，得关于的一元二次方程：…⑵∵，是方程⑵的两个实数解，∴…⑶又，∴，同理，∴…⑷把⑶代入⑷得，…⑸记为直线的倾斜角，则，由⑸知…⑹当的斜率不存在时，，此时的坐标可为和或和，∴…⑺由⑹⑺知，当直线的倾斜角为时…⑻同理，记直线的倾斜角为时…⑼由得，，，∴或，依题意，∴当时，…⑽

7、乌鲁木齐地区2014年高三年级第二次诊断性测验理科数学答案第10页（共10页）当时，…⑾由⑽、⑾知当直线的倾斜角为时，…⑿同理，…⒀由⑿、⒀知，四边形的面积为令，∵，∴则∵，∴，当，或时，，递增，当时，，递减，∴当时，取最大值，即∴当时，四边形的面积…12分21．（本小题满分12分）（Ⅰ）令，则当时，，∴函数在时为增函数，∴时，，即当时，，∴函数在时为减函数，∴时，，即，则，当时，，∴，；…5分（Ⅱ）下面用数学归纳法证明ⅰ）当时，，知，∴时，命题成立乌鲁木齐地区2014年高三年级第二次诊断性测验理科数学答案第10页（共10页）ⅱ）假设时，命题成立．

8、即要证明时，命题成立．即证明，只需证明依题意知，即证明：当时，有，由（Ⅰ）可知，即∴当时，，∴函数，时为增函数由归纳假设，