圆与多边形知识总结

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1、一、圆的知识点总结确定圆的条件1.圆的确定确定一个圆有两个基本条件：①圆心(定点)，确定圆的位置；②半径(定长)，确定圆的大小．只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定．2.过已知点作圆⑴经过点的圆：以点以外的任意一点为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆有无数个．⑵经过两点的圆：以线段中垂线上任意一点作为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆也有无数个．⑶过三点的圆：若这三点共线时，过三点的圆不存在；若三点不共线时，圆心是线段与的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．⑷过个点的圆：只可以作个或个，当只可作

2、一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．3.定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴”不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵”确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．4.三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外

3、心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.（一）圆的基本性质1、圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆．2、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等。3

4、、垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。推论：①平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；点与圆的位置关系点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设的半径为，点到圆心的距离为，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内.如下表所示：位置关系图形定义性质及判定点在圆外点在圆的外部点在的外部.点在圆上点在圆周上点在的外部.点在圆内点在圆的内部点在的外部.直线与

5、圆的位置关系一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点．直线与相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点．直线与相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线．直线与相交从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数圆心到直线的距离与半径的关系公共点名称交点切点无直线名称割线切线无二、切线的性质及判定1．切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直

6、于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．2．切线的判定：定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3．切线长和切线长定理：⑴切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．①切线的判定定理设OA为⊙O的半径，过半径外端A作⊥OA，则O到的距离d=r，∴与⊙O相切．因此，我们得到：切

7、线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O的切线．证明一直线是圆的切线有两个思路：（1）连接半径，证直线与此半径垂直；（2）作垂线，证垂足在圆上②切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足：（1）垂直于切线（2）过切点（3）过圆心定理：①过圆心，过切点垂直于切线过圆心，过切点，则②经过圆心，垂直于切线过切点③经过切点，垂

8、直于切线过圆心三、三角形内切圆1．定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2．多边形内切圆：和多边形的各边都相