A题-全国大学生数学建模竞赛2016A题讲评

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1、悬链线在系泊系统设计中的应用——全国大学生数学建模竞赛2016A题的解答与点评主讲人：周义仓西安交通大学数学与统计学院zhouyc@mail.xjtu.edu.cn,029-82668741主要内容1.题目及其背景2.悬链线方程推导3.问题1和问题2的模型与解答4.问题3的模型与解答5.离散化的递推模型6.竞赛答卷情况综述7.对教学的建议1.题目及其背景2016A系泊系统的设计近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的囿柱体，浮标的质量为

2、1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。要求锚链末端不锚的链接处的切线方向不海床的夹角丌超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封囿柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶

3、的倾斜角度（钢桶不竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶不电焊锚链链接处可悬挂重物球。系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。问题1某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和问题3由于潮汐等因素的影响，布24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链放海域

4、的实测水深介于16m~20m之形状、浮标的吃水深度和游动区域。间。布放点的海水速度最大可达到问题2在问题1的假设下，计算海面风速1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚给出考虑风力、水流力和水深情况链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的下的系泊系统设计，分析丌同情况质量，使得钢桶的倾斜角度丌超过5度，锚下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形链在锚点不海床的夹角丌超过16度。状、浮标的吃水深度和游动区域。说明近海风荷载可通过近似公式锚链型号和参数表F=0.625×Sv2(N)计算，其中S为

5、物体在型长度（mm）质量号（kg）风向法平面的投影面积(m2)，v为风速I783.2(m/s）。近海水流力可通过近似公式II1057III12012.5F=374×Sv2(N)计算，其中S为物体在水IV15019.5流速度法平面的投影面积(m2)，v为水V18028.12长度是指每节链环的长度;流速度(m/s）。质量时指每米环链的质量题目来源及要求•应征题目：近浅海海底观测网的组网优化问题，原题是针对某海域试验用海底观测网提出的，需要通过模型设计试验海域中系泊系统和水声通讯系统传输节点的布局；•关注的是第三问，问题1和问题

6、2是我们中加的，帮助学生理解问题和形成建模不求解的思路；•考察学生理解和简化实际问题的能力，主要用力学知识建立模型，进行求解后给出需要的结果：确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。题目解答的主要思路通过受力分析建立模型，求解后给出需要的结果。•将锚链、钢桶、钢管都简化为柔软的绳索，利用悬挂重物的三段悬链线来解决；•将下部的锚链简化为悬链线，上面的钢桶和钢管分别作为刚体来处理，由力和力矩的平衡条件建立模型；•将每节环链、钢桶和钢管都看作刚体，得到力和力矩的平衡条件，给出离散

7、的递推模型。悬链线方程推导（1）2.悬链线方程的推导考虑OP段悬链线的受力情况力平衡方程：TcosH，TsinW，Wdyx2tan，tan，W1yxdx'()Hdx022dydy1,yy(0)0,'(0)0.2dxHdxxHyacosh1，aa悬链线方程推导（2）考虑[]xxdx,段悬链线的受力情况在两个方向上的力平衡方程分别为(TdT)cos(d)Tcos,(TdT)sin(d)TsindW,将cos(dd)

8、sin(，)展开，22ddW()1xyxdxy'(),'tan,''secydx22dy()xdy1,yx()y,yx'()tan20000dxHdxxx1sinaHyacosh00lnya,0acoscos0