泊松积分的几种简便证明

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1、万方数据第24卷第4期2010年12月西昌学院学报·自然科学版JournalofXiehangCollege·Natural．ScienceEditionV01．24．NO．4Dec．。2010泊松积分的几种简便证明钱学明(无锡科技职业学院基础部，江苏无锡214028)【摘要】在一般的《高等数学》教材中对于泊松积分的计算少有涉及，而在实际问题中，例如在研究热传导或是概率问题的时候，都会遇到泊松积分。但由于其被积函数的原函数不是初等函数，因此，不能用牛顿一莱布尼茨公式来计算其积分值。而一般证明方法比较繁锁，笔者在

2、此给出泊松积分的几种较为简便的证明方法。【关键词】泊松积分；拉普拉斯变换；广义二重积分；F函数【中图分类号]0241【文献标识码】A【文章编号】1673—1891(2010)04-0025-02在研究热传导或是概率问题的时候，通常会遇到泊松积分。但南于其被积函数的原函数不是初等函数，因此不能用牛顿一莱布尼茨公式来确定它的积分值。利用D’Alembert判别法分析泊松积分1．P”‘dx后发现，它是收敛的，进一步计算可知泊松积分收敛于每。一般的教材中计算泊松积分比较繁琐，笔者在此给出泊松积分的几种较为简便的证明方法

3、。1利用坐标变换证明由于12=(r∥出)‘=fe-，dx·r／妙=IIP’(^，‘’dxdy利用极坐标来计算上述二重积分，则口】得，2=fd口fe-r2rdr=量[一}P一一]_=詈而e_也巩娜>邮肌Ee-"曲=括=孚2利用r函数证明设x2=t删x=以m=六df，于是，rfe-"缸=p南出=圭∥舢由F函数的定义，可知r(争2上72P～dt。并且根据余元公式F(仅)F(1-or)=i毒万，IRa=圭，得到r(争=√石，因此，rP”3缸=丢r(争=孚3利用B函数证明由B函数的定义可知丑(Jp，鼋)=x'-'0一工)

4、一出若令肛击，卜肟南。dx--’南，贝。占(p，g)=j：+。可j；；j；；百dz取p2三1，92j1，则．曰(三寺=f鲁如=2玳tan压e”=，rm荆=韶等瓤8(》簪鼬于r(1)-l，巾争卜c挣所以，r9=扣当，iI)=厉。因此，r∥沁圭r(争=圭√曰(}，争-办5-4利用Wallis公式证明由于矿，21鳃【1+等j，所以fe。出=r舰(-+鲁r以取u，㈨钔稃P肿，=(1+玎一(-吾r(n_2'3'⋯)胪，≤‰(工)。不难验证，可以交换求和与积分运算的次序，粤以P拈恕r南⋯垆鼬f南妊町南对于Beta函数艿(p

5、，g)2Jl而dz，●+曲_叮■令鼋=吾，p：掣，z-t2，则dz：2tdt。收稿日期：2010-02—11作者简介：钱学明(1981一)，男，江苏无锡人，讲师，硕士，主要从事高等数学、积分变换教学研究。些_二——万方数据西昌学院学报·自然科学版第24．g所刚c孕，扣f赤2tdt=2F斋而^埘dt=芝1反训，《≮l：2l!=嬲麓2瓤f高扣如嬲号又由于石嬲=丽锗。丽2r^／n根据w出s公式：三=．1i。ra洲l---LLI器r即冉=舰击嚣‰可得。li+m{n((22打n-一2)!13)!!=磐扬+·‘翟荔”·商：

6、乞。=艺·五=去眦!鳃f南。抒孚。眠pk孚。5利用拉普拉斯变换的方法证明对于泊松积分【F。‘dx，显然，这是一个实变如一‘’量的广义积分，因此可以引进参变量t，使其成为t的函数。设厂(，)=fe。，如，取拉普拉斯变换并交换积分次序，得尸p)=Lif(O]=．rf(t)e-fifof(t)e-“dt=r。(r。P”一dx)e-"dt尸p)=L=“=I．1l^P”一}·■¨、，u，=r血re。∥a，=f出rg咱协出=f专出。去r赢d㈡寺rct锄小罨由于Lff-；】：辈：宰，。，⋯．--I，l，1譬登r【匆2忑。西。

7、因此，Vj、，窟、，f朋乩_c删乱’1c砧=”扣臻三=戈即r8q一出=孚‘z1。取t=l，则fP。2出=譬。6利用高斯分布的结论证明考虑密度函数pO)2了云i孑P2r，一∞0)是两个常数。为此，可令孚。y，则击p‘锣‘由=去EP一譬砂(√乞e』由42=去[≯☆．昏一譬咖=去eF≯蛐，现在作坐标变换，令1Ix，，=：rres．ills口O●这时，∥一。：『：，所以有，陆J=，{妙]2=去f(f』，．出]d秒=·于是，I。pG)出。[诱≥e2一dx=l，m-m1一{”P

8、J．此时，令仃5忑I，斗-0，则．￡埘去P。2以=l。所以，rP。2出=孚。7利用钟形脉冲函数的傅里叶变换的结论证明钟形脉冲函数呵表示为f(1)=Ae删2，其中A，B>0。在工程技术中讨论不规则信号(噪声信号)时将会遇到它。根据傅里叶变换的定义式，可得F【舻胪】=[肛∥∥dt由于钟形脉、冲函数肇傅里叶变换为F【加邓勺=捂舭一"所以仁扩2P抽协括以诌庙aa=l，p=1，to=0，则j。e