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1、泊松积分值的计算方法及其应用王雯雯摘要在一般高等数学教材中对泊松积分的计算很少有涉及，而在实际问题中，例如在处理概率与统计问题及热传导等问题时都会用到泊松积分，但由于泊松积分的被积函数不是初等函数，因此，不能用牛顿-莱布尼兹公式来计算其积分值,本文介绍泊松积分的七种证明方法，最后给出泊松积分在数学分析、概率统计及其物理等方面的应用.关键词：泊松积分；方法；应用TheComputingMethodsAndApplications0fPoissonIntegralWangWenwenAbstractIngenerallytextbooks
2、ofAdvancedMathematics，themethodsofsolvingPoissonintegralwaslessmentioned.ItencounteredPoissonintegralinpracticalproblemusually，suchasheatconductionproblemorprobabilityproblem.Itcouldn'tsolveintegralvaluewithNew-Leibnizformula,becausetheprimitivefunctionofintegrandwasn't
3、elementaryfunction.ThispaperintroducessevenmethodsofsolvingPoissonintegral,andapplicationsinmathematicalanalysis,physicsandprobabilitystatistics.Keywords:Poissonintegral;methods;applications一．引言泊松积分作为一种重要的积分形式在人们对实际问题的计算中起着重要的作用,但是在一般高等数学教材中对泊松积分的计算很少有涉及，而在实际问题中，例如在处理概率
4、与统计问题及热传导等问题时都会用到泊松积分，但由于泊松积分的被积函数不是初等函数，因此，不能用牛顿-莱布尼兹公式来计算其积分值.本文将从三方面对泊松积分作详细的研究.首先，判断泊松积分的收敛性，然后，求出泊松积分的值，求解该积分的方法有多种，本文将介绍求解泊松积分的七种不同解法，最后，列举泊松积分在概率论与数理统计、复变函数论及物理等方面的简单应用.二．判断泊松积分的收敛性要求反常积分的值，首先要判断该反常积分的收敛性，这是十分必要的,下面判断其收敛性.令,则+令=，对于:因为在上连续，所以在上可积，即在上收敛.对于：因为在上恒有，且
5、则由Cauchy判别法知，在上收敛.综上，在上收敛.即为一确定的值.三.求解泊松积分值的几种方法我们已经知道反常积分的值是存在的了，那么如何求出它的值呢？下面来介绍求其值的七种方法.（一）．利用欧拉积分求解因为欧拉积分有良好的性质，所以可用其来求一些相关的积分，往往会起到事半功倍的效果.记,则.由余元公式知，,则=2所以,=（二）.通过构造新的反常积分间接求得令,=,则,对求导，得则对,一致收敛.所以，=-且=则-=令，则有=则构造法是数学分析中常用的一种方法，当直接求积分不好求时，便可通过构造一种特殊的积分，间接地得出所求积分.例如
6、求反常积分时便可通过构造反常积分间接求得.（三）.利用多重积分计算间接求得解：利用极坐标变换,就变换为.因此利用变量替换法得====又由于=，所以利用化累次积分法得====则=又因为为偶函数，则==该种方法主要利用的是累次积分法和变量替换法，但值得注意的是一个反常二重积分化为累次积分后，其累次积分必须是收敛与绝对收敛的，累次积分法才可以继续利用下去.(四）.利用Wallis公式证明因为=,所以=取，，则不难验证，可变换其和与运算的次序，得=作变换,得=，对于函数，=，令,,=,则=所以，==，而===所以，=，又由于=又根据Walli
7、s公式：=即===所以==，故=（五）.利用数理方程的解证明由一个热传导方程引出对泊松积分的求解.已知一根无限长细杆，其初始温度为则细杆上的温度分布满足下述热传导方程：可以证明，此问题的傅立叶解为假设细杆上的初始温度为，则=取,，，则于是，，即=（六）.用MATLAB软件求解MATLAB是常见的通用数学软件之一，它具有多种数据结构和丰富的数学函数，应用领域广泛.在进行数值计算时方便简洁，下面就用MATLAB求解泊松积分.解：>>symsx>>int(exp(-x.^2),0,inf)ans=1/2*pi^(1/2)即=(七）.通过数值
8、逼近近似求解当被积函数的原函数不是初等函数时，往往不能用牛顿-莱布尼兹公式计算其积分值，而随着计算机的日益发展，我们可以利用计算机程序近似求解，精度越高，越与精确值接近.反常积分还可通过计算机近似求解，即编制一个通用的G
