证明定积分等式的几种方法.pdf

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1、第23卷第3期高等函授学报(自然科学版)Vol.23No.32010年6月JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)2010大学教学证明定积分等式的几种方法112李源,黄辉,郝小枝(1.云南大学数学系,昆明650091;2.云南中医学院中药学院,昆明650021)摘要:通过若干典型范例阐述了证明定积分等式的常用方法,总结了定积分等式的证明规律,有助于拓展学生的解题思路,从而提高学生的学习兴趣。关键词:换元法;分部积分法;微分法;辅助函数法;重积分法中图分类号:O13文献标识

2、码:A文章编号:1006-7353(2010)03-0023-031+x011换元法lnf(u)du+lnf(t)dt+lnf(t)dt=换元法是证明积分等式的最常用方法,其基!1!x!01+x11+x本思路是:利用定积分与积分变量无关的性质,利lnf(t)dt+lnf(t)dt=lnf(t)dt.!1!x!x用适当的变量替换将积分等式的一端向另一端转1x1f(1+t)化。常用的换元思路如下:#lnf(x+t)dt=lndt+lnf(t)dt.!0!0f(t)!0(1)若等式一端的被积函数或其主要部分为2分部积分法f(x),而另一端为f[
(x

3、)],则可作代换t当积分等式命题中,被积函数中含有f∃(x)=
(x);或变限积分时,通常采用分部积分法加以证明。(2)若等式两端的被积表达式相同,则代换例3设f(x)在[a,b]上有连续的二阶导依据等式两端的积分限;[2]数,又f(a)=f∃(a)=0,(3)含参变量的积分等式通常需要利用变量bb12替换将含参变量的积分变形处理。求证:!af(x)dx=af"(x)(x-b)dx2![1]例1设f(x)连续,证明:bbbb证f(x)dx=f(x)d(x-b)=!a!af(x)dx=f(a+b-x)dx.!a!abb(x-b)f(x)a-(x-

4、b)f∃(x)dx=证令a+b-x=t!abbbbb12f(a+b-x)dx=f(t)dt=f(x)dx.-(x-b)f∃(x)dx=-f∃(x)d(x-b)=!a!a!a!a2!a例2设f(x)为正值连续函数,证明:1b2b121x1-(x-b)f∃(x)a+(x-b)f"(x)dx=f(1+t)22!alnf(x+t)dt=lndt+lnf(t)dt!0!0f(t)!01b21x+t=u1+x(x-b)f"(x)dx2!a证∀lnf(x+t)dt=lnf(u)du!0!x3微分法x1f(1+t)又∀lndt+lnf(t)dt=微分法的基本思

5、路:将定积分等式的命题转!0f(t)!0xx1化为函数恒等式的证明。一般地,以下两类问题通lnf(1+t)dt-lnf(t)dt+lnf(t)dt=!0!0!0常可考虑用微分法加以证明:收稿日期:2010-04-01.基金项目:云南大学中青年骨干教师培养计划专项经费资助项目.作者简介:李源(1978
),男,云南呈贡人,讲师,主要从事高等数学的教学和研究.23第23卷第3期高等函授学报(自然科学版)Vol.23No.32010年6月JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)20

6、10(1)由变限积分表示的积分等式命题;质,可知F(x)在[a,b]上可导从而连续。b(2)将积分等式中的常数视为变量后转化为又F(a)=-f(t)dt<0,!a函数恒等式的命题。b例4证明:F(b)f(t)dt>0,x2x2!aln(1+t)1ln(1+t)dt=dt由零点定理:至少存在&(a,b),使得F()!0t2!0tbx2证设F(x)=ln(1+t)dt-=0,即f(x)dx=f(x)dx.!0!a!t2bbx1ln(1+t)而f(x)dx+f(x)dx=f(x)dx,且dt!a!!a2!0tb22∀F∃(x)=ln(1

7、+x)-1ln(1+x)2xf(x)dx=f(x)dx.2!a!x2xbb1=0故f(x)dx=f(x)dx=f(x)dx.!a!2!a#F(x)%C(其中C为常数),又F(0)=0,例7设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且#F(x)%0,即x2x2g(x))0,ln(1+t)1ln(1+t)dt=dtb!0t2!0tf(x)dx!af()例5设f(x)是以T为周期的连续函数,证证明:至少&(a,b),使得b=g()a+TTg(x)dx!a明:
a&R,有f(x)dx=f(x)dx!a!0x证令F(x)=f(t)dt,G(

8、x)=证不妨设a为变量,设H(a)=!aa+TTxf(x)dx-f(x)dxg(t)dt,!a!0!a∀H∃(a)=f(a+T)-f(a)-0由条件可