《参数估计与拟合》PPT课件

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1、参数估计与拟合陈少敏清华大学工程物理系6/28/20081BESIII暑期讲习班17/09/20212主要内容参数估计最大似然法最小二乘法矩方法MINUIT的使用6/28/20082BESIII暑期讲习班粒子物理实验研究的目的粒子物理实验的一个重要目的是确定粒子的属性质量、寿命（宽度）、分支比、自旋、宇称…高斯布莱-魏格纳指数（时间）布莱-魏格纳（宽度）角动量守恒J=L+S球谐函数或d函数（角分布）克莱布施–戈丹系数衰变或散射振幅6/28/20083BESIII暑期讲习班参数估计理论数据数据理论概率微积分给定含有参数的理论预言分布，对数据能下何种结论

2、？需要一个步骤来从数据D中估计参数最常用的步骤是“拟合”。统计分析6/28/20084BESIII暑期讲习班什么是估计量？一个估计量对应于这样一个步骤，它能从实际数据测量值中对一个参数或一个分布的属性给出定量的结果6/28/20085BESIII暑期讲习班如何评判一个参数估计量的好坏？符合程度(一致性)偏置大小(无偏性)方差大小(有效性)6/28/20086BESIII暑期讲习班参数估计与概率大小的关系如果假设(包括的取值)为真可以预料会使观测结果具有高的概率。如果假设的取值远离真值会使观测结果具有低的概率。6/28/20087BESIII暑期讲

3、习班似然函数在经典统计理论里，L()并不是的概率密度函数。根据参数好坏与概率大小的关系，可以认为真实的应使得下式定义的似然函数有大的数值。6/28/20088BESIII暑期讲习班最大似然估计量取最大值有时候L()可以有好几个极大值注意，1）方法利用了所有信息，与如何划分数据分布区间无关；2）定义的最大似然估计量并不保证它们总是最优的。需要对诸如无偏性，有效性等问题进行研究大样本情况下，最大似然法大都能给出了期待的好结果。小样本的情况，虽然不总是最优，但也能给出最好的实用解。6/28/20089BESIII暑期讲习班最大似然估计量的唯一性考虑

4、的最大似然估计值是下列方程的解选用等价参数h()因为因此，h的最大似然估计值与参数选取无关，具有唯一性。6/28/200810BESIII暑期讲习班指数概率密度函数的参数估计考虑指数概率密度函数设有数据样本t1,…,tn。为方便起见采用对数形式(对同样的参数值，该定义不改变最大值的位置)。是平均寿命的最大似然估计6/28/200811BESIII暑期讲习班指数型最大似然估计是无偏的6/28/200812BESIII暑期讲习班估计量的方差：数值方法指数分布平均值的估计量为：6/28/200813BESIII暑期讲习班估计量的方差：蒙特卡罗方法Nexp=

5、1000蒙特卡罗模拟可给出标准偏差6/28/200814BESIII暑期讲习班估计量的方差：RCF边界法任何估计量(不仅仅是最大似然法)的方差下界为也称为Rao-Cramér-Frechet不等式。通常假设上述结论为真，利用RCF边界估计(b为偏置)最大似然估计量对大的样本统计量n几乎总是有效的。6/28/200815BESIII暑期讲习班指数型函数估计量的RCF边界已知估计是无偏的b=0，所以由RCF边界可得=真的方差对指数型函数求二阶导数6/28/200816BESIII暑期讲习班RCF边界与HESSE矩阵对于只有一个参数的情况，可以得到求logL

6、的最大值可通过数值计算来完成，二阶导数的矩阵(Hessian矩阵)是通过有限差值来估计。调用CERN的MINUIT软件包中的HESSE程序6/28/200817BESIII暑期讲习班例子：估计实验所需的统计量质子与反质子弹性散射实验，观测量为散射角x=cos，服从f(x;)=0.5×(1+x)，其中是反映反质子极化的参数。目前测量值为0.10±0.02，要想在统计上将相对误差减少到5%，总共需要多少个事例？由信息不等式，任何估计量的方差下界为对于本问题，b=0，6/28/200818BESIII暑期讲习班例子：实验所需的统计量（续）由信息不等式

7、，带入不等式可以求得n1.2105。6/28/200819BESIII暑期讲习班估计量的方差:图解法也就是6/28/200820BESIII暑期讲习班推广的最大似然法21如果考虑了样本大小n也是泊松分布的随机变量，平均值为，那么6/28/200821BESIII暑期讲习班BES上的质量测量22能量点iPRL69,3021(1992)6/28/200822BESIII暑期讲习班推广的最大似然法：独立23可以将其分解成单独求与估计值的问题。例如：是信号与本底分量的叠加。6/28/200823BESIII暑期讲习班推广的最大似然法：独立(续)2

8、4根据概率的定义可知并非所有的i独立，因此有在推广的最大似然法中在总事例数n中，第i部分事例