自动控制原理复习资料——卢京潮版第二章

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1、第二章:控制系统的数学模型§2.1引言·系统数学模型-描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达式。·建模方法·本章所讲的模型形式§2.2控制系统时域数学模型1、线性元部件、系统微分方程的建立(1)L-R-C网络──2阶线性定常微分方程(2)弹簧—阻尼器机械位移系统分析A、B点受力情况由解出代入B等式:得:──一阶线性定常微分方程(3)电枢控制式直流电动机电枢回路:┈克希霍夫电枢及电势:┈楞次电磁力矩:┈安培力矩方程:┈牛顿变量关系:消去中间变量有:(4)X-Y记录仪(不加内电路)消去中间变量得:─二阶线

2、性定常微分方程即:1、线性系统特性──满足齐次性、可加性l线性系统便于分析研究。l在实际工程问题中,应尽量将问题化到线性系统范围内研究。l非线性元部件微分方程的线性化。例:某元件输入输出关系如下,导出在工作点处的线性化增量方程解:在处线性化展开,只取线性项:令得2、用拉氏变换解微分方程(初条件为0)复习拉普拉斯变换的有关内容1复数有关概念(1)复数、复函数复数复函数例:(2)复数模、相角(3)复数的共轭(4)解析:若F(s)在s点的各阶导数都存在,称F(s)在s点解析。2拉氏变换定义3几种常见函数的拉氏变换1.单

3、位阶跃:2.指数函数:1.正弦函数:4 拉氏变换的几个重要定理(1)线性性质:(2)微分定理:零初始条件下有:l例1:求l例2:求解:(3)积分定理:(证略)零初始条件下有:进一步有:l例3:求L[t]=?解:l例4:求解:(4)位移定理实位移定理:l例5:解:虚位移定理:(证略)l例6:求l例7:l例8:(5)终值定理(极限确实存在时)证明:由微分定理取极限: ∴有:证毕l例9:求l例10:拉氏变换附加作业一.已知f(t),求F(s)=?二.已知F(s),求f(t)=?5.拉氏反变换(1)反变换公式:(2)查表

4、法——分解部分分式(留数法,待定系数法,试凑法)微分方程一般形式:的一般表达式为:(I)其中分母多项式可以分解因式为:(II)的根(特征根),分两种情形讨论:I:无重根时:(依代数定理可以把表示为:)即:若可以定出来,则可得解:而计算公式:(Ⅲ)(Ⅲ′)(说明(Ⅲ)的原理,推导(Ⅲ′))●例2:求解:●例3:,求解:不是真分式,必须先分解:(可以用长除法)●例4:解法一:()解法二:II:有重根时:设为m阶重根,为单根.则可表示为:其中单根的计算仍由(1)中公式(Ⅲ)(Ⅲ′)来计算.重根项系数的计算公式:(说明原

5、理)●例5求解:3.用拉氏变换方法解微分方程●例:解:举例说明拉氏变换的用途之一—解线性常微分方程,引出传函概念。如右图RC电路:初条件:输入依克西霍夫定律:L变换:依(*)式可见,影响CR电路响应的因素有三个:分析系统时,为在统一条件下衡量其性能输入都用阶跃,初条件影响不考虑3:系统的结构参数 ――只有此项决定系统性能零初条件下输入/出拉氏变换之比(不随输入形式而变)§2-3线性定常系统的传递函数——上述CR电路的结论适用于一般情况一般情况下:线性系统的微分方程:简单讲一下:传递函数的标准形式:I:为首1多项式

6、型:II:为尾1多项式型:开环增益的意义:一般情况下:首1型:(1)尾1型:(2)由(1)式:(3)比较(1)(2):(4)首1型多用于根轨迹法中.尾1型多用于时域法,频域法中.一.传递函数定义:条件:定义:有关概念:特征式,特征方程,特征根零点——使的s值极点——使的s值:传递函数,增益,放大倍数→结构图——系统的表示方法G(s)分子分母与相应的微分方程之间的联系:完全取决于系统本身的结构参数注(1)为何要规定零初始条件?分析系统性能时,需要在统一条件下考查系统:输入:都用阶跃输入.初条件:都规定为零——为确定

7、一个系统的起跑线而定.则系统的性能只取决于系统本身的特性(结构参数)(2)为何初条件可以为零?1)我们研究系统的响应,都是从研究它的瞬时才把信号加上去的.2)绝大多数系统,当输入为0时,都处于相对静止状态.3)零初始条件是相对的,常可以以平衡点为基点(如小扰动为线性化时)(3)零初条件的规定,并不妨碍非零初条件时系统全响应的求解.可以由G(s)回到系统微分方程,加上初条件求解.二.传递函数的性质:1.G(s):复函数,是自变量为s的有理真分式(m≤n)均为实常数.m

8、上反映出来,即C(s)的阶次比R(s)阶次高.反映到G(s)上即有分母阶次n≥分子阶次m.2).反证法:设m>n则:说明:2.G(s):只与系统本身的结构参数有关与输入的具体形式无关.输入变时,C(s)=G(s)R(s)变,但G(s)本身并不变化但G(s)与输入、输出信号的选择有关.r(t),c(t)选择不同,G(s)不同.(见前CR电路.)3.G(s)与系统的微分方程有

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