振动数学原理

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1、DNMC学员培训报告TRAINEE’SREPORT第7页总7页PAGE:7TOTAL:7一、振动数学原理机械振动的来源主要有以下方面：（1）机械零件的制造公差和缺陷；（2）组装时的间隙；（3）零件间的摩擦；（4）旋转不平衡等；（5）投运后的机械故障；（6）电磁作用引起的机械振动等。对于电站运行设备来说，振动来源基本上都是这几种的一个或几个，所以我感觉熟悉机械振动的数学原理对振动测量工作还是有一定的帮助的。为了下面说明的方便，可将机械振动按照自由度数可划分为单自由度和多自由度振动，二者又分有阻尼和无阻尼状况。1.1单自由度体系的振动对一个单自由度的物体

2、来说，它的受力情况可表示如下：由牛顿第二定律可得：；为物体相对位移值。具体表示如下：其中，y0(t)是物体的绝对位移，y1(t)为基础的绝对位移；为惯性力，为阻尼力，为弹性力，为外加载荷。DNMC学员培训报告TRAINEE’SREPORT第7页总7页PAGE:7TOTAL:7在不计基础振动的情况下，上式可简化为：其中：为惯性力，为阻尼力，为弹性力，为载荷。1.1.1单自由度自由振动无阻尼状态条件：阻尼为零，无能量耗散：；无振动载荷：。所以它的方程形式为：（1-1）令，则有（1-2）其解：（1-3）若令，，，公式（1-3）转换为：（1-4）由上式可以得

3、到：周期：；工频：；频率（圆频率）：。注：需要强调的是此时的即“自振频率”，是系统的固有属性；无阻尼自由运动就是个简谐振动。有阻尼状态条件：阻尼不为零，有能量耗散：；无振动载荷：。所以它的方程形式为：（1-5）DNMC学员培训报告TRAINEE’SREPORT第7页总7页PAGE:7TOTAL:7同样的，可令，；则（1-6）（1-6）的特征方程：（1-7）特征根为：（1-8）由特征根的形式可以把通解分为三种情况，并按照阻尼大小范围划分：(1),小阻尼情况；（1-9）令，通解：（1-10）如果把（1-10）作与无阻尼自由运动同样的处理，转换成下式：（1

4、-11）我们会发现有阻尼自由运动其实就是一个幅值成衰减的无阻尼自由运动（2），大阻尼情况；通解：（1-12）令，上式化为：即由于阻尼过大，还没有振动就已经消耗了全部能量。DNMC学员培训报告TRAINEE’SREPORT第7页总7页PAGE:7TOTAL:7（3），临界阻尼情况；特征根：通解：由方程可以看出就是振动过渡到非振动的过程。1.1.2单自由度受迫振动由于f（t）的形式有多种，在具体问题时求解情况都不同。1.2多自由度体系的振动可见多自由度体系各自所受力都不是独立的，存在一定程度的联系，而我们所要接触的大部分都是转动或非转动的截面近似圆形的长

5、条状受力物体，所研究的力大多在垂直方向，平行于圆形截面，可以说在每个受力点所产生的不仅仅是受力处的位移，其它各点都会受其影响产生位移。1.2.1多自由度体系的自由振动无阻尼状态可以用两种方法来描述图中的关系。DNMC学员培训报告TRAINEE’SREPORT第7页总7页PAGE:7TOTAL:7（1）列位移方程（柔度法）：柔度矩阵：所谓柔度是指单位外“力”所引起的系统的“位移”。具体地说，系统第j个坐标上作用的单位力在第i个坐标上所引起的位移就定义为柔度系数。“力”与“位移”都是指广义的，“力”可以是力，也可以是力偶；而“位移”可以是线位移，也可以是

6、角位移，提取多个测量点的位移值，取，即柔度，为对的贡献。罗列图中各变量可得：（1-13）矩阵形式：（1-14）（2）列动力平衡方程（刚度法）：刚度矩阵：刚度是受外力作用的材料、构件或结构抵抗变形的能力，刚度计算公式K=F/L,L为单位形变,即刚度为产生单位形变所需的力，反过来，F=K·L。本方法将要用到的k[ij]的定义是：使第i处(或广义坐标)产生单位位移，而其他各处（或广义坐标）为零，而需要加在第j处(或广义坐标)上的力（或广义力）。柔度矩阵与刚度矩阵关系：[k]=[δ]-1。DNMC学员培训报告TRAINEE’SREPORT第7页总7页PAGE

7、:7TOTAL:7（1-15）式中为测量点m惯性力Im在点n的分力。矩阵形式如下：（1-16）　　　　　　　（1-17）矩阵形式：（1-18）欲求解振型矩阵{Ｘ}，可先求解，可由（1-17）求得：（1-19）将（1-19）、（1-18）带入（1-16）；（1-20）（1-21）设该方程组系数行列式为0，可得频率方程：（1-22）上式展开后可得ω2的n次代数方程，它的n个根即相当于n个自振频率，ωk即第k频率。对应每个频率ωk分别有不同的振型{Ｘk}。（1-23）只能求得{Ｘk}的相对值，可结合实际测量情况补充方程。有阻尼状态方法同上。1.2.2多自由

8、度体系的受迫振动DNMC学员培训报告TRAINEE’SREPORT第7页总7页PAGE:7TOTAL:7同单