Matrix的数学原理

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1、AndroidMatrixMatrix的数学原理平移变换旋转变换缩放变换错切变换对称变换代码验证Matrix的数学原理在Android中，如果你用Matrix进行过图像处理，那么一定知道Matrix这个类。Android中的Matrix是一个3x3的矩阵，其内容如下：Matrix的对图像的处理可分为四类基本变换：Translate平移变换Rotate旋转变换Scale缩放变换Skew错切变换从字面上理解，矩阵中的MSCALE用于处理缩放变换，MSKEW用于处理错切变换，MTRANS用于处理平移变换，MPERSP用于处

2、理透视变换。实际中当然不能完全按照字面上的说法去理解Matrix。同时，在Android的文档中，未见到用Matrix进行透视变换的相关说明，所以本文也不讨论这方面的问题。针对每种变换，Android提供了pre、set和post三种操作方式。其中set用于设置Matrix中的值。pre是先乘，因为矩阵的乘法不满足交换律，因此先乘、后乘必须要严格区分。先乘相当于矩阵运算中的右乘。post是后乘，因为矩阵的乘法不满足交换律，因此先乘、后乘必须要严格区分。后乘相当于矩阵运算中的左乘。除平移变换(Translate)外，旋

3、转变换(Rotate)、缩放变换(Scale)和错切变换(Skew)都可以围绕一个中心点来进行，如果不指定，在默认情况下是围绕(0,0)来进行相应的变换的。下面我们来看看四种变换的具体情形。由于所有的图形都是有点组成，因此我们只需要考察一个点相关变换即可。一、平移变换假定有一个点的坐标是，将其移动到，再假定在x轴和y轴方向移动的大小分别为：如下图所示：不难知道：如果用矩阵来表示的话，就可以写成：二、旋转变换2.1围绕坐标原点旋转：假定有一个点，相对坐标原点顺时针旋转后的情形，同时假定P点离坐标原点的距离为r，如下图：

4、那么，如果用矩阵，就可以表示为：2.2围绕某个点旋转如果是围绕某个点顺时针旋转，那么可以用矩阵表示为：可以化为：很显然，1.是将坐标原点移动到点后，的新坐标。2.是将上一步变换后的，围绕新的坐标原点顺时针旋转。3.经过上一步旋转变换后，再将坐标原点移回到原来的坐标原点。所以，围绕某一点进行旋转变换，可以分成3个步骤，即首先将坐标原点移至该点，然后围绕新的坐标原点进行旋转变换，再然后将坐标原点移回到原先的坐标原点。三、缩放变换理论上而言，一个点是不存在什么缩放变换的，但考虑到所有图像都是由点组成，因此，如果图像在x轴和

5、y轴方向分别放大k1和k2倍的话，那么图像中的所有点的x坐标和y坐标均会分别放大k1和k2倍，即用矩阵表示就是：缩放变换比较好理解，就不多说了。四、错切变换错切变换(skew)在数学上又称为Shearmapping(可译为“剪切变换”)或者Transvection(缩并)，它是一种比较特殊的线性变换。错切变换的效果就是让所有点的x坐标(或者y坐标)保持不变，而对应的y坐标(或者x坐标)则按比例发生平移，且平移的大小和该点到x轴(或y轴)的垂直距离成正比。错切变换，属于等面积变换，即一个形状在错切变换的前后，其面积是相

6、等的。比如下图，各点的y坐标保持不变，但其x坐标则按比例发生了平移。这种情况将水平错切。下图各点的x坐标保持不变，但其y坐标则按比例发生了平移。这种情况叫垂直错切。假定一个点经过错切变换后得到，对于水平错切而言，应该有如下关系：用矩阵表示就是：扩展到3x3的矩阵就是下面这样的形式：同理，对于垂直错切，可以有：在数学上严格的错切变换就是上面这样的。在Android中除了有上面说到的情况外，还可以同时进行水平、垂直错切，那么形式上就是：五、对称变换除了上面讲到的4中基本变换外，事实上，我们还可以利用Matrix，进行对称

7、变换。所谓对称变换，就是经过变化后的图像和原图像是关于某个对称轴是对称的。比如，某点经过对称变换后得到，如果对称轴是x轴，难么，用矩阵表示就是：如果对称轴是y轴，那么，用矩阵表示就是：如果对称轴是y=x，如图：那么，很容易可以解得：用矩阵表示就是：同样的道理，如果对称轴是y=-x，那么用矩阵表示就是：特殊地，如果对称轴是y=kx，如下图：那么，很容易可解得：用矩阵表示就是：当k=0时，即y=0，也就是对称轴为x轴的情况；当k趋于无穷大时，即x=0，也就是对称轴为y轴的情况；当k=1时，即y=x，也就是对称轴为y=x的

8、情况；当k=-1时，即y=-x，也就是对称轴为y=-x的情况。不难验证，这和我们前面说到的4中具体情况是相吻合的。如果对称轴是y=kx+b这样的情况，只需要在上面的基础上增加两次平移变换即可，即先将坐标原点移动到(0,b)，然后做上面的关于y=kx的对称变换，再然后将坐标原点移回到原来的坐标原点即可。用矩阵表示大致是这样的：需要特别注意：在实际