高一数学竞赛辅导（1）集合的相关问题

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1、集合的相关问题一．集合的确定性：任给一个元素，则与二者必居其一。例1．已知是由实数组成的数集，且满足：（i）（ii）若，则请回答下列问题：（1）求证：若，则中至少还有其它两个元素；若，则（2）试问集合是否为单元素集解：（1）当时，，由（ii）知，当时，，又当时，，所以当时，中至少还有其它两个元素，。若，则，由（i）知，，进而有（2）因，故当时，则有意义。若为单元素集，只有，即，而其判别式，所以它无实根，故不可能为单元素集。二．集合的描述法：若具有性质，则判断对象是否为集合的元素的基本方法就是检验是否具有蛋白质例2

2、．设，试证：（1）；（2）（3）若，，则证明：（1）因为且，。（2）设，则存在使，即①由于与具有相同的奇偶性，所以①式的左边仅有两种可能：奇数或4的倍数；另一方面，①式右边只可能是被4除余2的数，从而①式不成立，所以（3）设，，其中，，，，则因为，，所以三．集合的关系：（1），（2），且但例3．若，，则证明：设任意的，则，，因为，所以，故。当时，，，又时，，，从而例4．如右图，为奇数，表示位于表中第行第列的数，，，且满足（i）（ii）对于任意的，求证：证明：当时，如果，根椐（i），故表中必有偶数个1；根椐（ii）

3、表中恰好每行都有一个1，又为奇数，故整个表中应有奇数个1。综上所述，，同理，，所以四．集合相等：且例5．已知下列集合：集合，集合，求证：证明：任取，则存在，使，，；任取，则存在，使得，，，综上所述，五．集合的交与并的运算例7．集合，，，若，，求，的值解：依题意，得。因，，故至多含有两个元素1与2，而方程的两个根为1，，故（1）当时，即，此时；（2）当时，即，此时。又，，当时，；当时，方程无实根，判别式，即当为单元集时，方程有两个相等实根，，此时，或，不满足，所以实数的值为或六．集合的子集问题一般地，集合有个子集，

4、由于每个子集的构成取决于元素，，…，是否属于该集合，只要熟练地运用乘法原理立即可得出上述结论。例8．一个集合含有10个互不相同的十进制两位数，证明：这个集合必有两个无公共元素的子集合，这两个集合中的数字之和相等证明：由于该集合共有个非空子集合，每一个这样的子集合内各数之和不会超过个，故由抽屉原则知，其中必有两个不同的子集与，的数字之和与的数字之的相等。划去公共元素，可得两个无公共元素的非空子集，其所含各数之和相等。例9．设，，，都是的真子集，，，证明：或中必有两个不同数的和为完全平方数证明：设存在满足题设的集合和

5、，不论还是中任意两个数的和都不是完全平方数。不妨设，那么，否则与假设矛盾，于是，同样，应有，这样，应有，由于，所以15或15。当15时，，当15时，，均与题设矛盾。从而或中必有两个不同数的和为完全平方数七、集合的划分若集合的非空子集中任何两个都没有公共元素，且它们的并集等于集合，则由这些子集的全体组成的集合，称为集合的一个划分。例如，，，则，，集合为集合的一个划分。一般地，一个集合的划分不是唯一的，特殊的划分往往来自直接构造，而有些过于“苛刻”的划分实际上是不存在的。例10．试证：集合中存在一个由1593个元素组

6、成的子集，其中没有一个元素是另一个元素的四倍。证明：因，故任何一个大于的整数与4的乘积都大于1992，记，中共有1494个元素。因为，记，中有374个元素，每个元素的4倍所得的数是中的元素。因为，记，中有93个元素，每个元素的4倍所得的数是中的元素，记，中有24个元素，每个元素的4倍是中的元素。，记，中有6个元素，每个元素的4倍所得的数是中的元素。记为单元素集，1的4倍即为中的元素。这样是集合的一个划分，由于，，的元素的和为，故取即为所求。