8.1直线与方程

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1、第一节直线与方程【目标导航】一、基本公式、直线的倾斜角与斜率及直线方程二、两条直线的位置关系、点到直线的距离【考纲知识梳理】一、直线的倾斜角与斜率1、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ．与x轴相交；ⅱ．x轴正向；ⅲ．直线向上方向．②直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．③倾斜角α的范围0°≤α＜180°．（2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为90°的直线斜率不存在．②经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线

2、的斜率公式是k＝(x1≠x2)．③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率．2、两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2Ûk1＝k2．特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行．（2）两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2Ûk1·k2＝－1．注：两条直线l1，l2垂直的充要条件是斜率之积为－1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为－1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线

3、垂直，斜率之积不一定为－1．如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2互相垂直．二、直线的方程1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式y－y1＝k(x－x1)(x1，y1)为直线上一定点，k为斜率不包括垂直于x轴的直线斜截式y＝kx＋bk为斜率，b是直线在y轴上的截距不包括垂直于x轴的直线两点式＝(x1≠x2)且(y1≠y2)(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两定点不包括垂直于x轴和y轴的直线截距式＋＝1a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴

4、上的非零截距不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)A，B，C为系数无限制，可表示任何位置的直线注：过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定．（1）若x1＝x2且y1≠y2，直线垂直于x轴，方程为x＝x1；（2）若x1≠x2且y1＝y2，直线垂直于y轴，方程为y＝y1；（3）若x1≠x2且y1≠y2，直线方程可用两点式表示）2、线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P

5、2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式．三、直线的交点坐标与距离公式1．两条直线的交点设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．第8页共8页2．几种距离（1）两点间的距离平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式AB＝，特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y

6、)的距离OP＝．（2）点到直线的距离点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．（3）两条平行线间的距离两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝．注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算．四、两条直线的位置关系【要点名师透析】一、直线的倾斜角与斜率（一）直线的倾斜角※相关链接※※例题解析※〖例〗若ab＜0，则过点P(0，－)与Q的直线PQ的倾斜角的取值范围是_

7、_______．（二）直线的斜率及应用※相关链接※1、斜率公式：k＝与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中前后次序相同；2、求斜率的一般方法：（1）已知直线上两点，根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率；（2）已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据k＝tanα来求斜率；3、利用斜率证明三点共线的方法：已知A(x1，y1)，B(，y2)，C(x3，y3)若x1＝x2＝x3或kAB＝kAC，则有A、B、C三点共线．注：斜率变化分成两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论．※例题解析※〖例

8、〗若直线l的斜率k的变化范围是[－1，]，则它的倾斜角的变化范围是．〖例〗设a，b，c是互不相等的三个实数，如果A(a，a3)、B(b，b3)、C(c，c3)在同一直线上，求证：a＋b＋c＝0．第8页共8页（三）两条直线的平行与垂直〖例〗已知点M(2，2)，N(5，－2)，点P在x轴上，分别求满足下列条件的P点坐标．（1）∠MOP＝∠OPN(O是坐标原点)；（2）∠MPN是直角．思路解析：∠MOP＝∠OPNÞOM∥PN，∠MPN是直角ÞMP⊥NP，故而可利用两直线平行和垂直的条件求