高等数学课件3-1中值定理

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1、1$3-1中值定理一、罗尔(Rolle)定理例如,2$3-1中值定理点击图片任意处播放暂停物理解释:变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.几何解释:AB3$3-1中值定理证4$3-1中值定理($1-4Th2)5$3-1中值定理注意(1)若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,2-2（有不可导点）6$3-1中值定理又例如,(2)利用罗尔定理，可以证明方程101。107$3-1中值定理例1解在（-1，2）与（2，5）内均可导，且至少存在一点使即方程又故至多有两个实根，因此，分别位于区间（-1，2）与（2，5）内.(与习题3-1，5类似）8$3-1中值定理

2、例2证由零点存在定理，即为方程的小于1的正实根.矛盾,(与p166习题3-1，12类似）9$3-1中值定理二、拉格朗日中值定理10$3-1中值定理几何解释:证分析:弦AB方程为11$3-1中值定理作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.12$3-1中值定理拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理13$3-1中值定理推论证应用拉格朗日中值公式，即注：利用此推论可证明恒等式.14$3-1中值定理例3(P166,习题3-1，6）证又15$3-1中值定理例4（P163例

3、1）证由上式得辅助函数和区间.关键是找到一个适当的注：利用拉氏定理，可证明不等式，16$3-1中值定理三、柯西中值定理柯西（Cauchy）中值定理如果函数)(xf及)(xF在闭区间],[ba上连续,在开区间),(ba内可导,且)('xF在),(ba内每一点处均不为零，那末在),(ba内至少有一点)(ba

4、结论可变形为20$3-1中值定理四、小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系:(1)定理成立的条件；(2)利用中值定理证明等式与不等式的步骤;注意：（3）证明题的类型.21$3-1中值定理th罗尔Rolle拉格朗日Lagrange柯西Cauchy条件1.同右2.同右3.f(a)=f(b)1.f(x)在[a,b]上连续2.f(x)在(a,b)内可导1.f(x)、F(x)在[a,b]上连续2.f(x)、F(x)在(a,b)内可导，且结论同右至少存在一点使至少存在一点使几何意义关系推广推广特例.f(a)=f(

5、b)特例F(x)=xAB22$3-1中值定理思考题试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.23$3-1中值定理思考题解答不满足在闭区间上连续的条件；且不满足在开区间内可微的条件；以上两个都可说明问题.24$3-1中值定理练习题25$3-1中值定理26$3-1中值定理(P167,习题3-1，15）27$3-1中值定理练习题答案28$3-1中值定理